高數一命題預測試卷一
2003-08-29 15:43:00 來源：中國招生考試在線
高等數學（一）命題預測試卷（一）
一、選擇題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分。在每個小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內）
1．設 ，則 等于（ ）
A． B．
C． D．
2．設平面 ： ，直線 ： ，則它們的位置關系是（ ）
A．直線 與平面 平行 B．直線 與平面 垂直
C．直線 與平面 上 D．直線 與平面 有一個交點但不垂直
3．下列級數中為絕對收斂的級數是（ ）
A． B．
C． D．
4．對于微分方程 ，利用待定系數法求其特解 時，下列特解設法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列廣義積分收斂的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共10個小題，10個空，每空4分，共40分。把答案填在題中橫線上）
6．設 ，則函數 的連續區間為 。
7．曲線 ： 在 處的切線方程為 。
8．設 ，則 = 。
9．設 ，且 ，則 。
10．積分 。
11．平行于 軸且經過 ， 兩點的平面方程為 。
12．與向量 垂直的單位向量為 。
13．冪級數 的收斂半徑R = 。
14．微分方程 的通解為 。
15．設 在 ： 上連續，則
= 。
三、解答題（本大題共13個小題，共90分。解答寫出推理、演算步驟）
16．（本題滿分6分）
求 ．
17．（本題滿分6分）
設函數 由方程 確定，求 ．
18．（本題滿分6分）
設 均為函數 的極值點，求 的值．
19．（本題滿分6分）
計算 ．
20．（本題滿分6分）
設 ，計算 ．
21．（本題滿分6分）
計算 ，其中 ： ．
22．（本題滿分6分）
設 由 所確定，求 ．
23．（本題滿發6分）
求以點（0，0，1）為頂點，橢圓 為準線的錐面方程。
24．（本題滿分6分）
把函數 展開為 的冪級數，并寫出它的收斂區間。
25．（本題滿分6分）
求解方程 ．
26．（本題滿分10分）
討論曲線 的凹凸性并求其拐點．
27．（本題滿分10分）
設連續函數 滿足方程 ，求 ．
28．（本題滿分10分）
設 可導，求證： ．
參考答案
一、 選擇題
1．B 2．D 3．B 4．C 5．B
二、填空題
6． 7．
8． 9．
10． 11．
12． 13．0
14． 15．
三、解答題
16．解
17．解 把 代入 ，得
方程兩邊求導，得
將 代入上式
故 即 ．
18．解
由 在 時為極值點知
于是 解得
19．解
而對于 ，令 ，則
=
故
20．解
21．解
．
22．解 由方程 得
故
從而 ．
23．解 過橢圓上任一點 的母線方程為
故
又 在橢圓上
故 ，即
從而錐面方程為 ．
24．解
由 解出收斂區間為（－1，1）．
25．解 對應的齊次方程 ，即
解得通解為
將C換成 ，即
代入原方程，得 ，知
即
從而原方程的通解為
將初始條件代入，得
于是所求解為 ．
26．解 先求其二階導數
令 得
列表如下討論其凹凸性
0 1
＋ 0 － 0 ＋
上凹 拐點（0，1） 下凹 拐點（1，0） 上凹
27．解 已知方程兩邊對 求導，得
即
于是根據一階線性方程的求解公式，得
又由已知方程知， ，則 ，知
故所求函數 為 ．
28．證 令
則
于是
一、選擇題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分。在每個小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內）
1．設 ，則 等于（ ）
A． B．
C． D．
2．設平面 ： ，直線 ： ，則它們的位置關系是（ ）
A．直線 與平面 平行 B．直線 與平面 垂直
C．直線 與平面 上 D．直線 與平面 有一個交點但不垂直
3．下列級數中為絕對收斂的級數是（ ）
A． B．
C． D．
4．對于微分方程 ，利用待定系數法求其特解 時，下列特解設法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列廣義積分收斂的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共10個小題，10個空，每空4分，共40分。把答案填在題中橫線上）
6．設 ，則函數 的連續區間為 。
7．曲線 ： 在 處的切線方程為 。
8．設 ，則 = 。
9．設 ，且 ，則 。
10．積分 。
11．平行于 軸且經過 ， 兩點的平面方程為 。
12．與向量 垂直的單位向量為 。
13．冪級數 的收斂半徑R = 。
14．微分方程 的通解為 。
15．設 在 ： 上連續，則
= 。
三、解答題（本大題共13個小題，共90分。解答寫出推理、演算步驟）
16．（本題滿分6分）
求 ．
17．（本題滿分6分）
設函數 由方程 確定，求 ．
18．（本題滿分6分）
設 均為函數 的極值點，求 的值．
19．（本題滿分6分）
計算 ．
20．（本題滿分6分）
設 ，計算 ．
21．（本題滿分6分）
計算 ，其中 ： ．
22．（本題滿分6分）
設 由 所確定，求 ．
23．（本題滿發6分）
求以點（0，0，1）為頂點，橢圓 為準線的錐面方程。
24．（本題滿分6分）
把函數 展開為 的冪級數，并寫出它的收斂區間。
25．（本題滿分6分）
求解方程 ．
26．（本題滿分10分）
討論曲線 的凹凸性并求其拐點．
27．（本題滿分10分）
設連續函數 滿足方程 ，求 ．
28．（本題滿分10分）
設 可導，求證： ．
參考答案
一、 選擇題
1．B 2．D 3．B 4．C 5．B
二、填空題
6． 7．
8． 9．
10． 11．
12． 13．0
14． 15．
三、解答題
16．解
17．解 把 代入 ，得
方程兩邊求導，得
將 代入上式
故 即 ．
18．解
由 在 時為極值點知
于是 解得
19．解
而對于 ，令 ，則
=
故
20．解
21．解
．
22．解 由方程 得
故
從而 ．
23．解 過橢圓上任一點 的母線方程為
故
又 在橢圓上
故 ，即
從而錐面方程為 ．
24．解
由 解出收斂區間為（－1，1）．
25．解 對應的齊次方程 ，即
解得通解為
將C換成 ，即
代入原方程，得 ，知
即
從而原方程的通解為
將初始條件代入，得
于是所求解為 ．
26．解 先求其二階導數
令 得
列表如下討論其凹凸性
0 1
＋ 0 － 0 ＋
上凹 拐點（0，1） 下凹 拐點（1，0） 上凹
27．解 已知方程兩邊對 求導，得
即
于是根據一階線性方程的求解公式，得
又由已知方程知， ，則 ，知
故所求函數 為 ．
28．證 令
則
于是
