化抽象為具體——也談高考數學中數列復習

　　有位叫“克洛依”的博客覺得學習數列有困難，我回憶了一下當時教女兒數列部分時的情況，覺得“克洛依”的情況可能不是個別現象，很多學生對解答數列的題目都有困難。

　　數列是高中數學里比較特別的一個部分。之所以特別，就在于抽象的成分比較多。試看例題：

　　設數列{an}是公比q>0的等比數列，Sn是它的前n項和。若limSn=7(n→∞),則此數列的首項a1的取值范圍是_________。

　　我認為，有的學生之所以覺得數列難，主要是數列里頻繁出現的n造成的。高中數學其它部分，大都是解決一些可直觀的問題。如函數，有表達式，有直觀圖形；立體幾何更是直觀。而數列的n是對具體的一組排列的數抽象后產生出來的，這就使得一些抽象思維能力教弱的學生產生了困難（有的人抽象思維能力強，有的形象思維能力強，都很正常）。我女兒就是那種抽象思維能力較弱的學生，我在教她理解數列的方法是：盡量把問題化成具體直觀的現象再加以解決。

　　如看見數列{an}＝2n2，她在思考時可能就會模糊，那就把這個數列寫出來，如：

　　2，8，18，32，50，72......

　　這樣看上去就直觀了，思考由抽象變成具體，對她來說就容易多了。

　　例題一：在等差數列{an}中，a5=3，a6=-2，則a4+a5+a6+……+a10=___________。（2003年上海高考題）

　　通常解法：由a5,a6得出a7=-7，a7為a4到a10的中項，所以上式=a7x7=-49

　　女兒的解法：a5=3,a6=-2，所以公差d=-5，則此數列a4到a10項為：

　　8，3，－2，－7，－12，－17，－22

　　加起來，就是答案嘍。

　　消除了問題里的n，我發現女兒思考容易多了。

　　例題二：設數列{an}是公比q>0的等比數列，Sn是它的前n項和。若limSn=7(n→∞),則此數列的首項a1的取值范圍是_________。（2001年上海高考題）

　　這是一個無窮項等比數列的問題，頭腦中應該馬上跳出無窮項等比數列和的公式（這是基本功，我有講過，公式要背的滾瓜爛熟）limSn(n→∞)=a1/(1-q)=7，條件是|q|<1，這樣問題就變成了解 a1/(1-q)=7

　　|q|<1

　　q>0

　　關于a1和q的聯立方程（不等式）問題了,解的a1∈(0,7)。

　　例題三：若在數列{an}中，a1=3，且a(n+1)=(an)2（n是正整數），則

　　數列的通項an=________。（2002年上海高考題）

　　解：因為a(n+1)=(an)2，a1=3，所以a2=32=9，a3=92=81，

　　a4=812=6561......

　　因此待解問題變成了從數列 3，9，81，6561......里找出規律。

　　很顯然，都是3的倍數，數列可以寫成 3，32，322，323......

　　所以an=32(n-1)。

　　當然，高考數列問題不是都能排除了n來思考的，但在具體解答時，盡量把問題化成有具體意義的符號，對這部分學生還是有很大幫助的。

　　例題四：設等比數列{an}(n∈N)的公比q=-1/2，且lim(a1+a3+a5+a2n-1)(n→∞)=8/3，則a1=_________。（2004年上海高考題）

　　解：等比數列a1,a2,a3......an的q=-1/2，則數列a1,a3,a5......a2n-1也是等比數列，等比q=1/4。

　　（可以用下列假設數列幫助思考：

　　A1,a2,a3,a4,a5......為1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16......則a1,a3,a5......為1, 1/4, 1/16......）

　　再利用|q|<1的等比數列和的公式limSn(n→∞)=a1/(1-q)得出：

　　lim(a1+a3+a5+a2n-1)(n→∞)=a1/(1-q)=8/3(注意q=1/4!)，a1=2。

　　以上只是我教女兒的一些經驗。她是文科生，涉及到的數列題目可能難度不算大，這個方法不一定適合“克洛依”等學生。每個學生有自己的思維方法，但對那些抽象思維有困難的學生，化抽象為具體不失為“以己之長，克彼之短”。畢竟，在高考這個競爭中，誰能最大限度地發揮自己的優勢，誰就有可能贏得勝利。