高考數學考試內容：函數

2009-02-18 16:06:34 來源：

函數
　　考試內容：
　　映射。函數。函數的單調性、奇偶性。
　　反函數。互為反函數的函數圖象間的關系。
　　指數概念的擴充。有理指數冪的運算性質。指數函數。
　　對數。對數的運算性質。對數函數。
　　函數的應用。
　　考試要求：
　　(1)了解映射的概念，理解函數的概念。
　　【導讀】映射A→fB中，A中元素無剩余、一對一或多對一。函數是“非空數集上的映射”，其中“值域是映射中象集B的子集”.函數圖象與x軸垂線至多有一個交點，但與y軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個。函數圖象一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線不一定能成為函數圖象。函數是一種特殊的映射，而映射是一種特殊的對應；函數的三要素中對應法則是核心，定義域是靈魂。函數有兩種定義，一是變量觀點下的定義，一是映射觀點下的定義。復習中不能僅滿足對這兩種定義的背誦，而應在判斷是否構成函數關系、兩個函數關系是否相同等問題中得到深化，更應在有關反函數問題中正確運用。
　　【試題舉例】
　　給出下列三個等式：
　　f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝f(x)+f(y)/1-f(x)f(y).下列函數中不滿足其中任何一個等式的是(　　)
　　A.f(x)＝3x　
　　B.f(x)＝sinx　
　　C.f(x)＝log2x　
　　D.f(x)＝tanx
　　【答案】B
　　【解析】依據指、對數函數的性質可以發現A滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)，
　　C滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，而D滿足f(x＋y)＝f(x)+f(y)/1-f(x)f(y).，
　　B不滿足其中任何一個等式。
　　(2)了解函數單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性、奇偶性的方法。

　【導讀】函數的單調性只能在函數的定義域內來討論。函數y＝f(x)在給定區間上的單調性，反映了函數在區間上函數值的變化趨勢，是函數在區間上的整體性質，但不一定是函數在定義域上的整體性質。函數的單調性是對某個區間而言的，所以要受到區間的限制。確定函數的單調性或單調區間，在解答題中常用定義法、導數法，在選擇題、填空題中還有數形結合法、特殊值法等等。函數的奇偶性是函數既有圖象特征又有代數形式，兩者均是高考考查的重點，兩者相結合的抽象函數的性質探究更是函數性質研究的深入。函數的定義域關于原點對稱這是函數具備奇偶性的必要條件。
　　【試題舉例】
　　在R上定義的函數f(x)是偶函數，且f(x)＝f(2－x).若f(x)在區間[1,2]上是減函數，則f(x)(　　)
　　A.在區間[－2，－1]上是增函數，在區間[3,4]上是增函數
　　B.在區間[－2，－1]上是增函數，在區間[3,4]上是減函數
　　C.在區間[－2，－1]上是減函數，在區間[3,4]上是增函數
　　D.在區間[－2，－1]上是減函數，在區間[3,4]上是減函數
　　【答案】B

　　【解析】由f(x)＝f(2－x)可知f(x)圖象關于x＝1對稱，又因為f(x)為偶函數圖象關于x＝0對稱，可得到f(x)為周期函數且最小正周期為2，結合f(x)在區間[1,2]上是減函數，可得如上f(x)草圖。故選B.
　　(3)了解反函數的概念及互為反函數的函數圖象間的關系，會求一些簡單函數的反函數。
　　【導讀】反函數的定義不只局限于函數y＝ax(x∈R)與函數y＝logax(x∈(0，＋∞))，對于其他的函數也有可能存在反函數。只有一一對應的函數才有反函數，證明唯一性命題既要證存在性，又要用反證法證其唯一性。遇到互為反函數問題時，要時刻記住兩者定義域與值域互換。確定函數三要素、求反函數等課題的綜合性，不僅要用到解方程、解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數有關概念的結合。從定義域到值域上的一一映射確定的函數才有反函數；反函數的定義域、值域上分別是原函數的值域、定義域，若y＝f(x)與y＝f－1(x)互為反函數，函數y＝f(x)的定義域為A、值域為B，則f[f－1(x)]＝x(x∈B)，f－1[f(x)]＝x(x∈A)；單調性、圖象：互為反函數的兩個函數具有相同的單調性，它們的圖象關于y＝x對稱。求反函數的一般方法：
　　(1)由y＝f(x)解出x＝f－1(y)，(2)將x＝f－1(y)中的x，y互換位置，得y＝f－1(x)，(3)求y＝f(x)的值域得y＝f－1(x)的定義域。
　　【試題舉例】(2008•全國卷一)
　　若函數y＝f(x－1)的圖象與函數y＝ln√x＋1的圖象關于直線y＝x對稱，則f(x)＝(　　)
　　A.e2x－1 B.e2x C.e2x＋1 D.e2x＋2
　　【答案】B
　　【解析】本小題主要考查原函數與反函數圖象間的關系及反函數的求法。
　　由題意知y＝f(x－1)與y＝ln√x＋1互為反函數，y＝ln√x＋1的反函數的求解如下：y－1＝ln√x，√x＝ey－1，兩邊平方得x＝e2y－2，交換x，y，則得y＝ln√x＋1的反函數為f(x－1)＝e2x－2則f(x)＝e2x，故選B.
　　(4)理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函數的概念、圖象和性質。
　　【導讀】1.本小節的重點是指數函數的圖象和性質的應用。對于含有字母參數的兩個函數式比較大小或兩個函數式由于自變量的不同取值而有不同大小關系時，必須對字母參數或自變量取值進行分類討論。用好用活指數函數單調性，是解決這一類問題的關鍵。
　　2.對可化為a2x＋b•ax＋c＝0或a2x＋b•ax＋c≥0(≤0)的指數方程或不等式，常借助換元法解決，但應提醒學生注意換元后“新元”的范圍。
　　【試題舉例】
　　設a＝log1/23，b＝1/32，c＝2*1/3則(　　)
　　A.a<b<c B.c<b<a
　　C.c<a<b D.b<a<c
　　【答案】A
　　【解析】∵由指、對函數的性質可知：a＝log1/23<log1/2*1＝0,0<b＝1/30.2<1，c＝2*1/3>1，∴有a<b<c.　(5)理解對數的概念，掌握對數的運算性質。掌握對數函數的概念、圖象和性質。
　　【導讀】1.本小節的重點是對數函數圖象和性質的運用。由于對數函數與指數函數互為反函數，所以它們有許多類似的性質，掌握對數函數的性質時，與掌握指數函數的性質一樣，也要結合圖象理解和記憶。
　　2.由于在對數式中真數必須大于0，底數必須大于零且不等于1，因此有關對數的問題已成了高考的熱點內容。學生在理解有關的例題時，要強化這方面的意識。
　　【試題舉例】
　　設a＞1，函數f(x)＝logax在區間[a,2a]上的最大值與最小值之差為1/2，則a等于(　　)
　　A. √2 B.2 C.2√2 D.4
　　【答案】D
　　【解析】設a＞1，函數f(x)＝logax在區間[a,2a]上的最大值與最小值分別為loga2a，logaa＝1，它們的差為1/2，∴loga2＝1/2，a＝4，選D.
　　(6)能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題。
　　【導讀】指數函數f(x)＝ax，具有性質：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(1)＝a≠0.對抽象函數的研究，合理賦值是唯一途徑，不能僅依賴于函數模型；對數函數f(x)＝logax，具有性質：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(a)＝1(a>0，a≠1)，應注意對數函數的圖象性質在解題中的應用。
　　【試題舉例】(2008•全國卷二)
　　若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，則(　　)
　　A.a<b<c B.c<a<b
　　C.b<a<c D.b<c<a
　　【答案】C
　　【解析】∵x∈(e－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)，b－a＝lnx<0，即b<a，又∵a、c均小于0，＝ln2x<1，得c>a，∴b<a<c，故應選C.