09高考數學考試內容：三角函數

　三角函數
　　考試內容：
　　角的概念的推廣。弧度制。
　　任意角的三角函數。單位圓中的三角函數線。同角三角函數的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，sina/cosa＝tanα，tanαcotα＝1.正弦、余弦的誘導公式。
　　兩角和與差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。
　　正弦函數、余弦函數的圖象和性質。周期函數。函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象。正切函數的圖象和性質。已知三角函數值求角。
　　正弦定理。余弦定理。斜三角形解法。
　　考試要求：
　　(1)了解任意角的概念、弧度的意義。能正確地進行弧度與角度的換算。
　　【導讀】近年的高考題中，三角函數主要考查基礎知識、基本技能、基本方法，復習中注意“三基”的落實。一般都在選擇題與填空題中考查，多為容易或中等難度的題目。三角函數符號規律記憶口訣：一全正，二正弦，三是切，四余弦。要熟悉任意角的概念、弧度制與角度制的互化、弧度制下的有關公式、任意角的三角函數概念。
　　【試題舉例】
　　α是第四象限角，tanα＝－5/12，則sinα等于(　　)
　　A.1/5  B.－1/5  C.5/13  D.－5/13
　　【答案】D
　　【解析】α是第四象限角，tanα＝－5/12，則sinα＝－1/1+√tana*tana＝－5/13.
　　(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定義。了解余切、正割、余割的定義。掌握同角三角函數的基本關系式。掌握正弦、余弦的誘導公式。了解周期函數與最小正周期的意義。
　　【導讀】同角三角函數基本關系式是其他公式推導的理論基礎。對于誘導公式，可用“奇變偶不變，符號看象限”概括。三角公式是三角函數的心臟，它貫穿于整個的三角運算過程之中。在已知一個角的三角函數值，求這個角的其他三角函數值時，要注意題設中角的范圍，并就不同的象限分別求出相應的值。
　　【試題舉例】
　　已知簡諧運動f(x)＝2sin(π/3x＋φ)(|φ ＜)的圖象經過點(0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初相φ分別為(　　)
　　A.T＝6，φ＝π/6  B.T＝6，φ＝π/3
　　C.T＝6π，φ＝π/6  D.T＝6π，φ＝π/3
　　【答案】A
　　【解析】依題意2sinφ＝1，結合|φ ＜π/2可得φ＝π/6，易得T＝6，故選A.
　　(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
　　【導讀】三角函數的化簡與求值類型的高考題型非常豐富，求值與化簡過程中應當注意同名三角函數與同角三角函數的化歸。不僅要能熟練推證公式(建議自己推證一遍所有公式)、熟悉公式的正用逆用，還要熟練掌握公式的變形應用；注意拆角、拼角技巧，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等；注意倍角的相對性，如3α是3a/2的倍角；注意公式的變形使用，弦切互化、三角代換、消元是三角變換的重要方法，要盡量減少開方運算，慎重確定符號。注意“1”的靈活代換，如1＝sin2α＋cos2α＝sec2α－tan2α＝csc2α－cot2α＝tanα•cotα.應用誘導公式，重點是“函數名稱”與“正負號”的正確判斷，一般常用“奇變偶不變，符號看象限”的口訣。利用同角三角函數的關系及誘導公式進行化簡、求值、證明時，要細心觀察題目的特征，注意培養觀察、分析問題的能力，并注意做題后的總結，總結一般規律。如：“切割化弦”“1的巧代”，sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα這三個式子間的關系。最后要時時注意角的范圍的討論。
　　公式應用講究一個“活”字，即正用、逆用、變形用，還要創造條件應用公式，如拆角、拼角技巧等。
　　【試題舉例】
　　“θ＝2π/3”是“tanθ＝2cos(π/2+θ)”的(　　)
　　A.充分而不必要條件  B.必要而不充分條件
　　C.充分必要條件  D.既不充分也不必要條件
　　【答案】A
　　【解析】tanθ＝tan2/3π＝－√3，2cos(π/2+θ)＝2sin(－θ)＝－2sin(2/3π)＝－√3可知充分成立，當θ＝0°時tanθ＝0,2cos(π/2+θ)＝0可知不必要。故選A.
　　(4)能正確運用三角公式進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明。
　　【導讀】化簡要求：
　　(1)能求出值的應求出值。
　　(2)使三角函數種數盡量少。
　　(3)使項數盡量少。
　　(4)盡量使分母不含三角函數。
　　(5)盡量使被開方數不含三角函數。
　　常用方法：
　　(1)直接應用公式。
　　(2)切割化弦，異名化同名，異角化同角。
　　(3)形如cosαcos2αcos22α…cos2nα的函數式，只需將分子、分母分別乘以2n＋1sinα，應用二倍角正弦公式即可。
　　注意事項：
　　(1)公式的熟與準，要依靠理解內涵，明確聯系應用，練習嘗試，不可機械記憶。
　　(2)要重視對遇到的問題中角、函數名及其整體結構的分析，提高公式選擇的恰當性，有利于縮短運算程序，提高學習效率。
　　(3)角的變換體現出將未知轉化為已知的思想方法，這是解決三角中關于角的變換問題常用的數學方法之一。
　　【試題舉例】
　　sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　　)
　　A.0　  B.
　　C.√3/2　  D.1
　　【答案】D
　　【解析】sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin(15°＋75°)＝1，選D.
　　(5)理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，理解A、ω、φ的物理意義。
　　【導讀】三角函數圖象的平移變換及伸縮變換是歷屆高考的必考知識點，應當注意應用逆向思維的方法去驗證所得的結論。
　　三角函數圖象是三角函數考查的重要內容，通過圖象及方程可以用函數的觀點進一步研究其圖象與性質。本節是圖象和性質的綜合應用的內容，命題主要突出數形結合思想、化歸轉化思想、分類討論等數學思想方法，并注意三角知識的載體作用，注意和其他知識間的關聯；判斷y＝－Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的單調區間，只需求y＝Asin(ωx＋φ)的相反區間即可，一般常用數形結合。而求y＝Asin(－ωx＋φ)(－ω＜0)單調區間時，則需要先將x的系數變為正的，再設法求之。三角函數是函數的一個分支，它除了符合函數的所有關系和共性外，還有它自身的屬性；求三角函數式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數，且三角函數的次數為1的形式，否則很容易出現錯誤。
　　注意點：1.數形結合是數學中重要的思想方法，在中學階段，對各類函數的研究都離不開圖象，很多函數的性質都是通過觀察圖象而得到的。　2.作函數的圖象時，首先要確定函數的定義域。
　　3.對于具有周期性的函數，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據周期性作出整個函數的圖象。
　　4.求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值范圍不能發生變化。
　　5.解析式的求解中應用好圖象，緊扣五點中的第一個零點，要注意圖象的升降情況，注意數形結合的思想。
　　【試題舉例】
　　已知函數f(x)＝sin(ωx＋π/3)(ω＞0)的最小正周期為π，則該函數的圖象(　　)
　　A.關于點(π/3，0)對稱  B.關于直線x＝π/4對稱
　　C.關于點(π/4，0)對稱  D.關于直線x＝π/3對稱
　　【答案】A
　　【解析】由函數f(x)＝sin(ωx＋π/3)(ω＞0)的最小正周期為π得ω＝2，由2x＋π/3＝kπ得x＝1/2kπ－π/6，對稱點為(1/2kπ－π/6，0)(k∈Z)，當k＝1時為(π/3，0)，選A.
　　(6)會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示。
　　【導讀】解決給式(值)求值問題常注意：注意整體思想在解題中的應用；①要注意觀察和分析問題中各角之間的內在聯系，把“待求角”用“已知角”表示出來.②要注意條件中角的范圍對三角函數值的制約作用，確定所涉及的每一個角的范圍，以免出現增(失)解。
　　根據條件計算某個角的三角函數值或者求某個三角式子的值或者求某個角的大小等，在考試中選擇、填空、解答題均可出現，并且題目大都有一定的技巧性與靈活性。
　　【試題舉例】
　　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝√7，c＝√3，則B＝　　　　.
　　【答案】5π/6
　　【解析】由正弦定理得cosB＝1+3-7/2*1*√3＝－√3/2，所以B＝5π/6.
　　(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形。
　　【導讀】除了正余弦定理外，還應掌握三角形中一些其他關系式在解題中的應用。如在△ABC中A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，A＞B⇔a＞b⇔cosA＜cosB.
　　解斜三角形主要是已知三角形中的某些邊或角，去求另外的邊或角。多為選擇題或填空題，屬基礎題.(1)利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形問題：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角).(2)利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形問題：①已知三邊，求三個角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。
　　【試題舉例】
　　在△ABC中，AB＝√3，A＝45°，C＝75°，則BC等于(　　)
　　A.3－√3  B.√2  C.2  D.3＋√3
　　【答案】A
　　【解析】∵AB＝√3，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：
　　a/sinA＝c/sinC，⇒BC/sin45°＝AB/sin75°＝√3/(√6+√2)/4
　　∴BC＝3－√3.

　　(責任編輯：盧雁明)

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