育路高考網,提供查院校、選專業、填志愿,高考擇校路線規劃服務
微信小程序
高校招生小程序

快速擇校

微信公眾號
高校招生公眾號

政策解讀

010-51291557

客服熱線 : 8:00-20:00

09年高考數學基本不等式的應用與常見錯誤評析

2009-02-19 11:22:45 來源:

基本不等式及應用是高中階段一個重要的知識點;其方法靈活,應用廣范。在學習過程中要求學生對公式的條件、形式、結論等要熟練掌握,才能靈活運用。


一、基本不等式:


1.a,b∈R,a2+b2≥2ab,當且僅當a=b等號成立,


2.a,b∈R+,a+b≥2-,當且僅當a=b等號成立。


二、問題1:設ab﹤0,則:-+-的取值范圍是( )


(A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞)


解題辨析:


常見錯誤解法:因為-與-的積為定值,其和有最小值,


即-+-≥2所以選擇答案(D)。此解法是錯的,是因為-﹤0


-﹤0并不滿足不等式:a+b≥2-中字母的條件;


正確方法是:因ab﹤0,所以(--)>0,(--)>0


(--)+(--)≥2,即-+-≤-2,正確答案是(A)


問題2:已知x是正實數,求函數y=x2+-的最小值?


解題辨析:


常見錯誤解法:因x是正實數,y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的最小值是2-,當且僅當x2=-,即x=-時,等號成立;此解法錯誤的原因是x2與-的積


2-并不是定值。


正確結論:對于兩個正數a與b,


當和為定值,當且僅當a=b時,其積有最大值;


當積為定值,當且僅當a=b時,其和有最小值。


正確方法是:因x是正實數,y=x2+-=x2+-+-


≥3·■=3,


當且僅當:x2=-等號成立,即x=1時,y=x2+-的最小值是3


問題3:已知x,y都是正實數,且x+4y=1,求:-+-的最小值?


解題辨析:


常見錯誤解法:因為x,y都是正實數1=x+4y≥2-


即1≥4->0,-+-≥


2->0,兩式相乘得-+-≥8


所以-+-的最小值是8,此解法錯誤的原因是不等式x+4y≥2-取等號的條件是x=4y,而不等式-+-≥2-取等號的條件是x=y,而這兩個條件不可能同時成立,因此-+-≥8中的等號不成立。


正確方法是:x,y都是正實數,且x+4y=1,所以-+-=(-+-)·(x+4y)=1+4+(-+-)≥5+


2-=9,當且僅當-=-等號成立,


即當且僅當x=-,y=-時,-+-取得最小值是9


問題4:已知x,y,m,n∈R,且x2+y2=2,m2+n2=4,求:xm+yn的最大值?


解題辨析:


常見錯誤解法:


xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3


即:xm+yn的最大值為3


此解法錯誤的原因是當xm+yn取得最大值3時,x=m,y=n要同時成立,即有x2+y2=m2+n2,而這是不可能的。


正確解法:因為x2+y2=2,m2+n2=4,兩式相乘


8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn


8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2-


即當且僅當xn=ym時,xm+yn取最大值為2-


總之,基本不等式解決問題并不是萬能的。學習過程中,要深刻理解基本不等式的內在實質,搞清其條件、公式、結論之間的辯證關系是關鍵。特別對于第二個基本不等式,我們常說“一正、二定、三等號”,其意義就在于此。


訓練題


一、填空題:


1.已知x,y都是正實數,且-+-=1,則x+y最小值是_______,


當且僅當x=_______,y=_______,


2.已知:abc均為實數,且a2+b2+c2=1,則ab+bc+ca的最大值是________


最小值是_________。


3.已知:a,b都是正實數,且a+b=1,則(a+-)2+(b+-)2的最小值是__________。


二、選擇題:


1.已知:a,b都是正實數,且a+b=1,則-+-的最大值是( )


(A)-(B)-(C)2-(D)3


2.已知實數a,b,c滿足:a+b+c=5且a2+b2+c2=11,則實數c的范圍是( )


(A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]


三、解答題:


1.已知矩形的面積與其周長相等,求其面積的最小值?


2.⑴比較大小:㏒23_____㏒34,㏒56______㏒67


⑵根據上述結論作出推廣,試寫出一個有關于自然數n的不等式,并證明之。


答案:


一、 填空題:


1. x+y最小值是9, 當且僅當 x=6,y=3。


2. ab+bc+ca的最大值是1 , 最小值是--。


3.(a+-)2+(b+-)2的最小值是- ,  二、 選擇題:


1.(C), 2.(D)


三、 解答題:


1.16


2.⑴ ㏒23>㏒34 , ㏒56>㏒67


⑵ ㏒n(n+1)>㏒(n+1)(n+2), 只要證明: ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。


華東模范中學 馬蘭軍

  (責任編輯:盧雁明)

  特別說明:由于各省份高考政策等信息的不斷調整與變化,育路高考網所提供的所有考試信息僅供考生及家長參考,敬請考生及家長以權威部門公布的正式信息為準。

高考專業報名咨詢
  • 意向專業:
  • 學生姓名:
  • 聯系電話:
  • 出生日期:
  • 您的問題:
  • 《隱私保障》

高考低分擇校動態

免費咨詢

在線咨詢
錄取幾率測評
掃碼關注
官方微信公眾號

官方微信公眾號

電話咨詢
聯系電話
010-51291557
返回頂部
亚洲中国久久精品无码,国产大屁股视频免费区,一区二区三区国产亚洲综合,国产AV无码专区毛片
欧美精品国产免费无 | 中文字幕aⅴ日本欧美视频 一区二区日韩国产精品 | 五月婷婷婷婷在线视频 | 中文字乱码区2022 | 专干国产老熟女视频中文字幕 | 亚洲va韩国va欧美va久久 |