09年高考數學基本不等式的應用與常見錯誤評析
基本不等式及應用是高中階段一個重要的知識點；其方法靈活，應用廣范。在學習過程中要求學生對公式的條件、形式、結論等要熟練掌握，才能靈活運用。
一、基本不等式：
1.a,b∈R，a2+b2≥2ab，當且僅當a=b等號成立，
2.a,b∈R+，a+b≥2-，當且僅當a=b等號成立。
二、問題1：設ab﹤0,則:-+-的取值范圍是( )
(A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞)
解題辨析：
常見錯誤解法：因為-與-的積為定值，其和有最小值，
即-+-≥2所以選擇答案(D)。此解法是錯的，是因為-﹤0
-﹤0并不滿足不等式：a+b≥2-中字母的條件；
正確方法是：因ab﹤0，所以(--)＞0，(--)＞0
(--)+(--)≥2，即-+-≤-2，正確答案是(A)
問題2：已知x是正實數，求函數y=x2+-的最小值？
解題辨析：
常見錯誤解法：因x是正實數，y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的最小值是2-，當且僅當x2=-，即x=-時，等號成立；此解法錯誤的原因是x2與-的積
2-并不是定值。
正確結論：對于兩個正數a與b，
當和為定值，當且僅當a=b時，其積有最大值；
當積為定值，當且僅當a=b時，其和有最小值。
正確方法是：因x是正實數，y=x2+-=x2+-+-
≥3·■=3,
當且僅當：x2=-等號成立，即x=1時，y=x2+-的最小值是3
問題3：已知x,y都是正實數，且x+4y=1，求：-+-的最小值？
解題辨析：
常見錯誤解法：因為x,y都是正實數1=x+4y≥2-
即1≥4-＞0，-+-≥
2-＞0，兩式相乘得-+-≥8
所以-+-的最小值是8，此解法錯誤的原因是不等式x+4y≥2-取等號的條件是x=4y，而不等式-+-≥2-取等號的條件是x=y，而這兩個條件不可能同時成立，因此-+-≥8中的等號不成立。
正確方法是：x,y都是正實數，且x+4y=1，所以-+-=(-+-)·（x+4y)=1+4+(-+-)≥5+
2-=9，當且僅當-=-等號成立，
即當且僅當x=-，y=-時，-+-取得最小值是9
問題4：已知x,y,m,n∈R，且x2+y2=2,m2+n2=4，求：xm+yn的最大值？
解題辨析：
常見錯誤解法：
xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3
即：xm+yn的最大值為3
此解法錯誤的原因是當xm+yn取得最大值3時，x=m，y=n要同時成立，即有x2+y2=m2+n2，而這是不可能的。
正確解法：因為x2+y2=2,m2+n2=4，兩式相乘
8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn
8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2-
即當且僅當xn=ym時，xm+yn取最大值為2-
總之，基本不等式解決問題并不是萬能的。學習過程中，要深刻理解基本不等式的內在實質，搞清其條件、公式、結論之間的辯證關系是關鍵。特別對于第二個基本不等式，我們常說“一正、二定、三等號”，其意義就在于此。
訓練題
一、填空題：
1.已知x,y都是正實數，且-+-=1,則x+y最小值是_______，
當且僅當x=_______,y=_______,
2.已知：abc均為實數，且a2+b2+c2=1,則ab+bc+ca的最大值是________
最小值是_________。
3.已知：a,b都是正實數，且a+b=1，則(a+-)2+(b+-)2的最小值是__________。
二、選擇題：
1.已知：a,b都是正實數，且a+b=1，則-+-的最大值是( )
(A)-(B)-(C)2-(D)3
2.已知實數a，b，c滿足：a+b+c=5且a2+b2+c2=11,則實數c的范圍是( )
(A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]
三、解答題：
1.已知矩形的面積與其周長相等，求其面積的最小值？
2.⑴比較大小：㏒23_____㏒34,㏒56______㏒67
⑵根據上述結論作出推廣，試寫出一個有關于自然數n的不等式，并證明之。
答案：
一、 填空題：
1. x+y最小值是9， 當且僅當 x=6,y=3。
2. ab+bc+ca的最大值是1 , 最小值是--。
3.(a+-)2+(b+-)2的最小值是- , 二、 選擇題：
1.(C), 2.(D)
三、 解答題：
1.16
2.⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67
⑵ ㏒n(n+1)＞㏒(n+1)(n+2)， 只要證明： ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。
華東模范中學 馬蘭軍
(責任編輯：盧雁明)
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