數學思想在計數與概率中應用

北師大天津附中 潘長虹

計數與概率問題在近幾年的高考中都加大了考查的力度，每年都以解答題的形式出現。在復習過程中，由于知識抽象性強，學習中要注重基礎知識和基本方法，不可過深，過難。復習時可從最基本的公式，定理，題型入手，恰當選取典型例題，構建思維模式，造成思維依托和思維的合理定勢。

另外，要加強數學思想方法的訓練，這部分所涉及的數學思想主要有：分類討論思想、等價轉化思想、整體思想、數形結合思想，在概率和概率與統計中又體現了概率思想、統計思想、數學建模的思想等。在復習中應有意識用數學思想方法指導解題，不可就題論題，將問題孤立，片面強調單一知識和題型。

能力方面主要考查：運算能力、邏輯思維能力、抽象思維能力、分析問題和解決實際問題的能力。在高考中本部分以考查實際問題為主，解決它不能機械地套用模式，而要認真分析，抽象出其中的數量關系，轉化為數學問題，再利用有關的數學知識加以解決。

例1. 一次擲兩顆骰子，求點數和恰為8這一事件A的概率。

分析：這實際上是一個等可能事件的概率。擲兩個骰子出現的基本結果如下表：

解：表中基本結果36個，而點數為8的有5個，故：P(A)=-

評述：本題可歸結為擲骰子問題，通過對擲骰子情況的研究得出各種概率數學模型，體現了數學建模的思想：

(1)、投擲一顆均勻的骰子，研究出現各種點的情況，這是等可能事件的概率，各點出現的概率為1/6。

(2)、同時投擲兩顆均勻的骰子，研究出現各種點的情況，可列一表格或用坐標系表示。

(3)、同時投擲n顆均勻的骰子，研究出現各種點的情況，可看作n次獨立事件的概率。

例2.同時擲四枚均勻硬幣，求：

(1)恰有兩枚正面朝上的概率；

(2)至少有兩枚正面朝上的概率。

分析：因同時拋擲四枚硬幣，可認為四次獨立重復試驗。

解： (1)問中可看作“4次重復試驗中，恰有2次發生”的概率：

∴P4(2)=C42(-)2·(1--)2=-=-

(2)問中，可考慮對立事件“至多有一枚正面朝上”

故P=1-P4(0)-P4(1)=1-C40(-)0(1--)4-C41(-)1(1--)3=-

評述：研究各種擲硬幣的情況，抽象出其數學本質，再利用概率知識解決，這就是數學建模的過程。這一問題可推廣到n枚均勻硬幣同時投擲的情況。

　　(責任編輯：王曉冬)

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