2010年考研數學矩陣乘法復習指導

　　盡管矩陣乘法不滿足交換律。但是，矩陣乘法在多方面的成功應用，令人感到很愜意。 
　　1.若A，B都是n階方陣，則|AB|=|A||B|。
　　我們知道，|A+B|難解。相比之下，乘積算法復雜得多，而積矩陣行列式公式卻如此簡明，自然顯示了矩陣乘法之成功。
　　特別地，如果AB=BA=E，則稱B是A的逆陣;或說A與B互逆。
　　A*是A的代數余子式按行順序轉置排列成的。之所以這樣做，就是恰好有(基本恒等式)AA*=A*A=|A|E，順便有|A|≠0時，|AA*|=||A|E|，故|A*|=|A|的n-1次方。
　　2.對矩陣實施三類初等變換，可以通過三類初等陣分別與矩陣相乘來實現。“左乘行變，右乘列變。”給理論討論及應用計算機帶來很大的方便。
　　3.分塊矩陣乘法，形式多樣，內函豐富。
　　要分塊矩陣乘法可行，必須要在“宏觀”與“微觀”兩方面都確保可乘。
　　AB=A(b1，b2，——，bs)=(Ab1，Ab2，——，Abs)
　　宏觀可乘：把各分塊看成一個元素，滿足階數規則(1×1)(1×s)=(1×s).
　　微觀可乘：相乘的子塊都滿足階數規則。(m×n)(n×1)=(m×1)，具體如，Ab1是一個列向量，考試大
　　AB=0的基本推理
　　AB=0,即(Ab1，Ab2，——，Abs)=(0，0，——，0)
　　→B的每一個列向量都是方程組Ax=0的解。
　　→B的列向量組可以被方程組Ax=0的基礎解系線性表示。
　　→r(B)≤方程組Ax=0的解集的秩=n-r(A)→r(B)+r(A)≤n.
　　例：已知(n維)列向量組a1，a2，——，ak線性無關，A是m×n階矩陣，且秩r(A)=n，試證明，Aa1，Aa2，——，Aak線性無關
　　分析設有一組數c1，c2，——，ck，使得c1Aa1+c2Aa2+——+ckAak=0.
　　即A(c1a1+c2a2+——+ckak)=0.
　　這說明c1a1+c2a2+——+ckak是方程組Ax=0的解。
　　但是，方程組Ax=0的解集的秩=n-r(A)=0，方程組Ax=0僅有0解。
　　故c1a1+c2a2+——+ckak=0由已知線性無關性得常數皆為0。