考研數(shù)學(xué)矩陣乘法復(fù)習(xí)指導(dǎo)

  盡管矩陣乘法不滿足交換律。但是，矩陣乘法在多方面的成功應(yīng)用，令人感到很愜意。
    
    1.若A，B都是n階方陣，則|AB|=|A||B|。
    
    我們知道，|A+B|難解。相比之下，乘積算法復(fù)雜得多，而積矩陣行列式公式卻如此簡(jiǎn)明，自然顯示了矩陣乘法之成功。
    
    特別地，如果AB=BA=E，則稱B是A的逆陣；或說(shuō)A與B互逆。
    
    A*是A的代數(shù)余子式按行順序轉(zhuǎn)置排列成的。之所以這樣做，就是恰好有(基本恒等式)AA*=A*A=|A|E，順便有|A|≠0時(shí)，|AA*|=||A|E|，故|A*|=|A|的n－1次方。
    
    2.對(duì)矩陣實(shí)施三類初等變換，可以通過三類初等陣分別與矩陣相乘來(lái)實(shí)現(xiàn)。“左乘行變，右乘列變。”給理論討論及應(yīng)用計(jì)算機(jī)帶來(lái)很大的方便。
    
    3.分塊矩陣乘法，形式多樣，內(nèi)函豐富。
    
    要分塊矩陣乘法可行，必須要在“宏觀”與“微觀”兩方面都確保可乘。
    
    AB=A(b1，b2，——，bs)=(Ab1，Ab2，——，Abs)
    
    宏觀可乘：把各分塊看成一個(gè)元素，滿足階數(shù)規(guī)則(1×1)(1×s)=(1×s).
    
    微觀可乘：相乘的子塊都滿足階數(shù)規(guī)則。(m×n)(n×1)=(m×1)，具體如，Ab1是一個(gè)列向量
    
    AB=0的基本推理
    
    AB=0,即(Ab1，Ab2，——，Abs)=(0，0，——，0)
    
    →B的每一個(gè)列向量都是方程組Ax=0的解。
    
    →B的列向量組可以被方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系線性表示。
    
    →r(B)≤方程組Ax=0的解集的秩=n－r(A)→r(B)+r(A)≤n.
    
    例：已知(n維)列向量組a1，a2，——，ak線性無(wú)關(guān)，A是m×n階矩陣，且秩r(A)=n，試證明，Aa1，Aa2，——，Aak線性無(wú)關(guān)
    
    分析設(shè)有一組數(shù)c1，c2，——，ck，使得c1Aa1+c2Aa2+——+ckAak=0.
    
    即A(c1a1+c2a2+——+ckak)=0.
    
    這說(shuō)明c1a1+c2a2+——+ckak是方程組Ax=0的解。
    
    但是，方程組Ax=0的解集的秩=n－r(A)=0，方程組Ax=0僅有0解。
    
    故c1a1+c2a2+——+ckak=0由已知線性無(wú)關(guān)性得常數(shù)皆為0.