考研數(shù)學指導：階段復習小結(jié)之微積分

　　隨著季節(jié)逐步進入炎炎夏日，考研復習也即將進入暑期的強化復習階段，關于前一階段的復習成果大家一定要做一個小小的總結(jié)，以便迅速、科學地制定和調(diào)整下一階段的復習計劃。關于考研數(shù)學的復習，今天數(shù)學教研室總結(jié)一下有關微積分的相關內(nèi)容，供大家參考。

　　本章的重點內(nèi)容是：

　　一、多元函數(shù)(主要是二元、三元)的偏導數(shù)和全微分概念；

　　二、偏導數(shù)和全微分的計算，尤其是求復合函數(shù)的二階偏導數(shù)及隱函數(shù)的偏導數(shù)；

　　三、方向?qū)��?shù)和梯度(只對數(shù)學一要求)；

　　四、多元函數(shù)微分在幾何上的應用(只對數(shù)學一要求)；

　　五、多元函數(shù)的極值和條件極值。

　　本章的常見題型有：

　　1。求二元、三元函數(shù)的偏導數(shù)、全微分。

　　2。求復全函數(shù)的二階偏導數(shù)；隱函數(shù)的一階、二階偏導數(shù)。

　　3。求二元、三元函數(shù)的方向?qū)��?shù)和梯度。

　　4。求空間曲線的切線與法平面方程，求曲面的切平面和法線方程。

　　5。多元函數(shù)的極值在幾何、物理與經(jīng)濟上的應用題。

　　第4類題型，是多元函數(shù)的微分學與前一章向量代數(shù)與空間解析幾何的綜合題，應結(jié)合起來復習。

　　極值應用題多要用到其他領域的知識，特別是在經(jīng)濟學上的應用涉及到經(jīng)濟學上的一些概念和規(guī)律，讀者在復習時要引起注意。一元函數(shù)微分學在微積分中占有極重要的位置，內(nèi)容多，影響深遠，在后面絕大多數(shù)章節(jié)要涉及到它。

　　本章內(nèi)容歸納起來，有四大部分：

　　1。概念部分，重點有導數(shù)和微分的定義，特別要會利用導數(shù)定義講座分段函數(shù)在分界點的可導性，高階導數(shù)，可導與連續(xù)的關系；

　　2。運算部分，重點是基本初等函的導數(shù)、微分公式，四則運算的導數(shù)、微分公式以及反函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導公式等；

　　3。理論部分，重點是羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；

　　4。應用部分，重點是利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)(包括函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)圖形的凹凸性與拐點，漸近線)，比較值應用題，利用洛必達法則求極限，以及導數(shù)在經(jīng)濟領域的應用，如"彈性"、"邊際"等等。

　　常見題型有：

　　1。求給定函數(shù)的導數(shù)或微分(包括高階段導數(shù))，包括隱函數(shù)和由參數(shù)方程

　　確定的函數(shù)求導。

　　2。利用羅爾定理，拉格朗定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理證明有關命題和不等式，如"證明在開區(qū)間至少存在一點滿足……"，或討論方程在給定區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)等。

　　此類題的證明，經(jīng)常要構(gòu)造輔助函數(shù)，而輔助函數(shù)的構(gòu)造技巧性較強，要求讀者既能從題目所給條件進行分析推導逐步引出所需的輔助函數(shù)，也能從所需證明的結(jié)論(或其變形)出發(fā)"遞推"出所要構(gòu)造的輔函數(shù)，此外，在證明中還經(jīng)常用到函數(shù)的單調(diào)性判斷和連續(xù)數(shù)的介值定理等。

　　3。利用洛必達法則求七種未定型的極限。

　　4。幾何、物理、經(jīng)濟等方面的比較大值、比較小值應用題，解這類問題，主要是確定目標函數(shù)和約束條件，判定所論區(qū)間。

　　5。利用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖像，等等。