2012考研數(shù)學(xué)備考方法詳解

　　線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

　　往年常有考生沒有準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵，也沒有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，導(dǎo)致做題時出現(xiàn)錯誤。例如，矩陣A=(1，2，…，醡)與B=(1，2…，鈓)等價，意味著經(jīng)過初等變換可由A得到B，要做到這一點，關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組1，2，…醡與1，2，…鈓等價，說明這兩個向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時，并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價的信息，因此，由向量組1，2，…醡與1，2，…鈓等價，可知矩陣A=(1，2，…醡)與B=(1，2，…鈓)等價，但矩陣A與B等價并不能保證這兩個向量組等價。又如，實對稱矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTAC=B，要實現(xiàn)這一點，關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負慣性指數(shù)是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P-1AP=B成立，進而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負慣性指數(shù)相同，但正負慣性指數(shù)相同時，并不能保證特征值相同，因此，實對稱矩陣A～B�軦�繠，即相似是合同的充分條件。

　　線性代數(shù)中運算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關(guān)，重要的有：行列式(數(shù)字型、字母型)的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。