2013考研數學二大綱變化對比表

章節

2012大綱

2013大綱

變化情況及復習指南

一、             一、函數、極限、連續

考試內容

函數的概念及表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，復合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關系的建立

數列極限與函數極限的定義及其性質，函數的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限：

函數連續的概念，函數間斷點的類型，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質。

考試要求

1．   理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題的函數關系。

2．   了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

3．   理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。

4．   掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。

5．   理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限的關系。

6．   掌握極限的性質及四則運算法則。

7．   掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8．   理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。

9．   理解函數連續性的概念（含左連續和右連續），會判別函數間斷點的類型。

10. 了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、比較大值和比較小值定理、介值定理），并會應用這些性質。

考試內容

函數的概念及表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，復合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關系的建立

數列極限與函數極限的定義及其性質，函數的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限：

函數連續的概念，函數間斷點的類型，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質。

考試要求

1理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題的函數關系。

2了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

3理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。

4掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。

5理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限的關系。

6掌握極限的性質及四則運算法則。

7掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。

9理解函數連續性的概念（含左連續和右連續），會判別函數間斷點的類型。

10. 了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、比較大值和比較小值定理、介值定理），并會應用這些性質。

無變化

重點復習：

極限的定義及性質、極限存在的兩個準則、兩個重要極限、各種類型函數極限的求法、無窮小量、函數間斷點、連續函數的性質等

本章基礎內容較多，復習要扎實、穩步進行，以保證后面各章節的順利復習。

二、一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念，導數的幾何意義和物理意義，函數的可導性與連續性之間的關系，平面曲線的切線與法線，導數和微分的四則運算，基本初等函數的導數，復合函數、反函數和隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數，一階微分形式的不變性，微分中值定理，洛必達（L’Hospital）法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數圖形的描繪，函數的比較大值與比較小值，弧微分，曲率的概念，曲率圓與曲率半徑

考試要求

1．   理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。

2．   掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

3．   了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。

4．   會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數。

5．   理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會用柯西（Cauchy）中值定理。

6．   掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

7．   理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數比較大值和比較小值的求法及其應用。

8．   會用導數判斷函數圖形的凹凸性（注：在區間（a,b）內，設函數f(x)具有二階導數，當 時，f(x)的圖形是凹的；當 時，f(x)的圖形是凸的），會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。

9．   了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

考試內容

導數和微分的概念，導數的幾何意義和物理意義，函數的可導性與連續性之間的關系，平面曲線的切線與法線，導數和微分的四則運算，基本初等函數的導數，復合函數、反函數和隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數，一階微分形式的不變性，微分中值定理，洛必達（L’Hospital）法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數圖形的描繪，函數的比較大值與比較小值，弧微分，曲率的概念，曲率圓與曲率半徑

考試要求

1理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。

2掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

3了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。

4會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數。

5理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會用柯西（Cauchy）中值定理。

6掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

7理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數比較大值和比較小值的求法及其應用。

8會用導數判斷函數圖形的凹凸性（注：在區間（a,b）內，設函數f(x)具有二階導數，當 時，f(x)的圖形是凹的；當 時，f(x)的圖形是凸的），會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。

9了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

無變化

重點復習：

   導數的定義、函數可導性與連續性的關系、各類函數的求導法、微分中值定理、洛必達法則、函數性態等

三、一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，定積分的概念和基本性質，定積分中值定理，積分上限的函數及其導數，牛頓—萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分，反常（廣義）積分，定積分的應用

考試要求

1．   理解原函數的概念，理解不定積分與定積分的概念。

2．   掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。

3．   會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。

4．   理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓—萊布尼茨公式。

5．   了解反常積分的概念，會計算反常積分。

6．   掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平等截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函數的平均值。

考試內容

原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，定積分的概念和基本性質，定積分中值定理，積分上限的函數及其導數，牛頓—萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分，反常（廣義）積分，定積分的應用

考試要求

1理解原函數的概念，理解不定積分與定積分的概念。

2掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。

3會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。

4理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓—萊布尼茨公式。

5了解反常積分的概念，會計算反常積分。

6掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平等截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函數的平均值。

無變化

重點復習：

不定積分的概念和性質、基本積分公式、牛頓—萊布尼茲公式、換元積分法與分部積分法、反常積分、定積分的應用等

四、多元函數微積分學

考試內容

多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數的極限與連續的概念，有界閉區域上二元連續函數的性質，多元函數的偏導數和全微分，多元復合函數、隱函數的求導法，二階偏導數，多元函數的極值和條件極值、比較大值和比較小值，二重積分的概念、基本性質和計算

考試要求

1．   了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義。

2．   了解二元函數的極限與連續的概念，了解有界閉區域上二元連續函數的性質。

3．   了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數。

4．   了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的比較大值和比較小值，并會解決一些簡單的應用題。

5．   了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分（直角坐標、極坐標）的計算方法。

考試內容

多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數的極限與連續的概念，有界閉區域上二元連續函數的性質，多元函數的偏導數和全微分，多元復合函數、隱函數的求導法，二階偏導數，多元函數的極值和條件極值、比較大值和比較小值，二重積分的概念、基本性質和計算

考試要求

1.了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義。

2.了解二元函數的極限與連續的概念，了解有界閉區域上二元連續函數的性質。

3.了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數。

4.了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的比較大值和比較小值，并會解決一些簡單的應用題。

5.了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分（直角坐標、極坐標）的計算方法。

無變化

重點復習：

二元函數的極限與連續的概念和性質、多元函數的偏導數、多元復合函數、隱函數的求導法，二階偏導數，多元函數的極值和條件極值、比較大值和比較小值，二重積分的概念、基本性質和計算等

五、常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質及解的結構定理，二階常系數齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數齊次線性微分方程，簡單的二階常系數非齊次線性微分方程，微分方程的簡單應用

考試要求

1．   了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2．   掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程。

3．   會用降階法解下列形式的微分方程：

 和 。

4．   理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理。

5．   掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

6．   會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。

7．   會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

考試內容

常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質及解的結構定理，二階常系數齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數齊次線性微分方程，簡單的二階常系數非齊次線性微分方程，微分方程的簡單應用

考試要求

1..了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程。

3會用降階法解下列形式的微分方程：

  和 。

4.理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理。

5.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

6.會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。

7.會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

無變化