2017考研線性代數考點預測：相似對角化

　　矩陣的相似對角化是考研的重要考點，該部分內容既可以出大題，也可以出小題。所以同學們必須學會如何判斷一個矩陣可對角化，現把該部分的知識點總結如下:

　　一般方陣的相似對角化理論

　　這里要求掌握一般矩陣相似對角化的條件，會判斷給定的矩陣是否可以相似對角化，另外還要會矩陣相似對角化的計算問題，會求可逆陣以及對角陣。事實上，矩陣相似對角化之后還有一些應用，主要體現在矩陣行列式的計算或者求矩陣的方冪上，這些應用在歷年真題中都有不同的體現。

　　1、判斷方陣是否可相似對角化的條件：

　　(1)充要條件：An可相似對角化的充要條件是：An有n個線性無關的特征向量;

　　(2)充要條件的另一種形式：An可相似對角化的充要條件是：An的k重特征值滿足

　　(3)充分條件：如果An的n個特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對角化;

　　(4)充分條件：如果An是實對稱矩陣，那么An一定可以相似對角化。

　　【注】分析方陣是否可以相似對角化，關鍵是看線性無關的特征向量的個數，而求特征向量之前，必須先求出特征值。

　　2、求方陣的特征值：

　　(1)具體矩陣的特征值：

　　這里的難點在于特征行列式的計算：方法是先利用行列式的性質在行列式中制造出兩個0，然后利用行列式的展開定理計算;

　　(2)抽象矩陣的特征值：

　　抽象矩陣的特征值，往往要根據題中條件構造特征值的定義式來求，靈活性較大。

　　實對稱矩陣的相似對角化理論

　　其實質還是矩陣的相似對角化問題，與一般方陣不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求大家除了掌握實對稱矩陣的正交相似對角化外，還要掌握實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質，在考試的時候會經常用到這些考點的。

　　這塊的知識出題比較靈活，可直接出題，即給定一個實對稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對角陣;也可以根據矩陣A的特征值、特征向量來確定矩陣A中的參數或者確定矩陣A;另外由于實對稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對應的特征向量，從而確定出矩陣A。

　　比較重要的是，掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化就相當于解決了實二次型的標準化問題。

　　1、掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質

　　(1)不同特征值的特征向量一定正交

　　(2)k重特征值一定滿足

　　【注】由性質(2)可知，實對稱矩陣一定可以相似對角化;且有(1)可知，實對稱矩陣一定可以正交相似對角化。

　　2、會求把對稱矩陣正交相似化的正交矩陣

　　【注】熟練掌握施密特正交化的公式;特別注意的是：只需要對同一個特征值求出的基礎解系進行正交化，不同特征值對應的特征向量一定正交(當然除非你計算出錯了會發現不正交)。

　　3、實對稱矩陣的特殊考點：

　　實對稱矩陣一定可以相似對角化，利用這個性質可以得到很多結論，比如：

　　(1)實對稱矩陣的秩等于非零特征值的個數

　　這個結論只對實對稱矩陣成立，不要錯誤地使用。

　　(2)兩個實對稱矩陣，如果特征值相同，一定相似

　　同樣地，對于一般矩陣，這個結論也是不成立的。

　　4、實對稱矩陣在二次型中的應用

　　使用正交變換把二次型化為標準型使用的方法本質上就是實對稱矩陣的正交相似對角化。

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