考研數學復習應注重培養(yǎng)直覺思維

　　一、數學直覺的含義

　　數學直覺是一種直接反映數學對象結構關系的心智活動形式，它是人腦對于數學對象事物的某種直接的領悟或洞察。它在運用知識組塊和直感時都得進行適當的加工，將腦中貯存的與當前問題相似的塊，通過不同的直感進行聯結，它對問題的分解、改造整合加工具有創(chuàng)造性的加工。數學直覺是可能產生的，也是可以加以培養(yǎng)的。數學直覺的基礎在于數學知識的組塊和數學形象直感的生長。因此如果一個考生在解決數學新問題時能夠對它的結論作出直接的迅速的領悟，那么我們就應該認為這是數學直覺的表現。

　　數學是對客觀世界的反映，它是人們對生活現象的世界運行的秩序直覺的體現，再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學比較初的概念是基于直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發(fā)展，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。一個數學證明可以分解為許多基本運算或多個“演繹推理元素”，一個成功的組合，仿佛是一條從出發(fā)點到目的地的通道，一個個基本運算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利地到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實上，出發(fā)不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫一個成功的數學證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數學推理中的每一步，直覺能力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要等靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是平時訓練產生的一種直覺。

　　二、數學直覺思維的主要特點

　　（1）簡約性　直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質”。

　　（2）經驗性　直覺所運用的知識組塊和形象直感都是經驗的積累和升華。直覺不斷地組合老經驗，形成新經驗，從而不斷提高直覺的水平。

　　（3）迅速性　直覺解決問題的過程短暫，反應靈敏，領悟直接。

　　（4）或然性　直覺判斷的結果不一定正確。直覺判斷的結果不一定都正確，這是由于組塊本身及其聯結存在模糊性所致。

　　三、數學直覺思維的培養(yǎng)

　　從前面的分析可知，培養(yǎng)數學直覺思維的重點是重視數學直覺。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”也就是說數學直覺是可以通過訓練提高的。美國著名心理學家布魯納指出：“直覺思維、預感的訓練，是正式的學術學科和日常生活中創(chuàng)造性思維的很受忽視而重要的特征。”并提出了“怎樣才有可能從早年級起便開始發(fā)展學生的直覺天賦”。在明確了直覺的意義的基礎上，就可以從下列各個方面入手來培養(yǎng)數學直覺：

　　1、重視數學基本問題和基本方法的牢固掌握和應用，以形成并豐富數學知識組塊。

　　直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然是有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會迸發(fā)出思維的火花。所以對數學基本問題和基本方法的牢固掌握和應用是很重要的。所謂知識組塊又稱知識反應塊。它們由數學中的定義、定理、公式、法則等組成，并集中地反映在一些基本問題，典型題型或方法模式。許多其他問題的解決往往可以歸結成一個或幾個基本問題，化為某類典型題型，或者運用某種方式模式。這些知識組塊由于不一定以定理、性質、法則等形式出現，而是分布于例題或問題之中，因此不容易引起師生的特別重視，往往被淹沒在題海之中，如何將它們篩選出來加以精練是數學中值得研究的一個重要課題。在解數學題時，主體在明了題意并抓住題目條件或結論的特征之后，往往一個念頭閃現就描繪出了解題的大致思路。這是尖子學生經常會碰到的事情，在他們大腦中貯存著比一般學生更多的知識組塊和形象直感，因此快速反應的數學直覺就應運而生。

　　2、強調數形結合，發(fā)展幾何思維與類幾何思維。

　　數學形象直感是數學直覺思維的源泉之一，而數學形象直感是一種幾何直覺或空間觀念的表現，對于幾何問題要培養(yǎng)幾何自身的變換、變形的直觀感受能力。對于非幾何問題則要用幾何眼光去審視分析就能逐步過渡到類幾何思維。

　　3、重視整體分析，提倡塊狀思維。

　　在解決數學問題時要教會學習從宏觀上進行整體分析，抓住問題的框架結構和本質關系，從思維策略的角度確定解題的入手方向和思路。在整體分析的基礎上進行大步驟思維，使學生在具有相應的知識基礎和已達到一定熟練程度的情況下能變更和化歸問題，分析和辨認組成問題的知識集成塊，培養(yǎng)思維跳躍的能力。在練習中注意方法的探求，思路的尋找和類型的識別，養(yǎng)成簡縮邏輯推理過程，迅速作出直覺判斷的洞察能力。

　　4、鼓勵大膽猜測，養(yǎng)成善于猜想的數學思維習慣。

　　數學猜想是在數學證明之前構想數學命題思維過程。“數學事實首先是被猜想，然后才被證實。”猜想是一種合情推理，它與論證所用的邏輯推理相輔相成。對于未給出結論的數學問題，猜想的形成有利于解題思路的正確誘導；對于已有結論的問題，猜想也是尋求解題思維策略的重要手段。數學猜想是有一定規(guī)律的，并且要以數學知識的經驗為支柱。但是培養(yǎng)敢于猜想、善于探索的思維習慣是形成數學直覺，發(fā)展數學思維，獲得數學發(fā)現的基本素質。因此，在數學學習中，既要強調思維的嚴密性，結果的正確性，也不應忽視思維的探索性和發(fā)現性，即應重視數學直覺猜想的合理性和必要性。

　　數學直覺思維能力的培養(yǎng)是一個長期的過程。考生要逐步培養(yǎng)敏捷的思維，靈活的解題思路和很強的對以往知識結構綜合利用能力。這不僅有利于智力開發(fā)，更有利邏輯思維的培養(yǎng)。