2010年GCT跟我學專欄—數學（５）

1、設１０件產品中有４件不合格品，從中任取兩件，已知取出的兩件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（０.２）【思路】在”已知取出的兩件中有一件不合格品”的情況下，另一件有兩種情況(1)是不合格品,即一件為合格品,一件為不合格品(2)為合格品,即兩件都是合格品.對于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;對于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提問實際上是求在這兩種情況下,(1)的概率,則(2/15)/(8/15+2/15)=1/5

2、某人自稱能預見未來，作為對他的考驗，將1枚硬幣拋10次，每一次讓他事先預言結果，10次中他說對7次 ，如果實際上他并不能預見未來，只是隨便猜測，則他作出這樣好的答案的概率是多少？答案為11/64。

【思路】原題說他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 C(7 10)0.5^7×0.5^3+……C(10 10)0.5^10, 即為11/64.

3、成等比數列三個數的和為正常數K,求這三個數乘積的最小值【思路】a/q+a+a*q=k(k為正整數)由此求得a=k/(1/q+1+q)所求式=a^3,求最小值可見簡化為求a的最小值.

對a求導,的駐點為q=+1,q=-1.

其中q=-1時a取極小值-k,從而有所求最小值為a=-k^3.(mba不要求證明最值)4、擲五枚硬幣，已知至少出現兩個正面，則正面恰好出現三個的概率。

【思路】可以有兩種方法：

1.用古典概型 樣本點數為C（3，5），樣本總數為C（2，5）C（3，5）C（4，5）C（5，5）（也就是說正面朝上為2，3，4，5個），相除就可以了；2.用條件概率 在至少出現2個正面的前提下，正好三個的概率。至少2個正面向上的概率為13/16，P（AB）的概率為5/16，得5/13假設事件A：至少出現兩個正面；B：恰好出現三個正面。

A和B滿足貝努力獨立試驗概型，出現正面的概率p=1/2P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。

5、設有n個球和n個能裝球的盒子，它們各編有序號1,2,….n今隨機將球分別放在盒子中，每個盒放一個，求兩個序號恰好一致的數對個數的數學期望。（答案：1）【思路】1/nn，N個球進N個盒有N的N次方種排列，對號入座只有1種排列。

6、若方程x2+p*x+37=0恰有兩個正整數解x1,x2,則((x1+1)*(x2+1))/p=?

(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1【思路】題目說有兩個正整數的根，故只能是1和37，p=-387、設F(n)=(n+1) n-1(n為自然數),則F(n):

(a) 只能被n整除 (b)能被n*n整除 …..

【思路】用二項式定理去做第二題，只考慮n的系數，有一個含n的項.系數中還有一個n.答案應為b。

8、一張盒子中有4張卡片，其中兩張卡片兩面都是紅色，一張卡片兩面都是綠色，一張卡片一面紅一面綠。任取其中一張，觀察其一面的顏色，如果被觀察的一面是綠的，求另一面也是綠色的概論。

【思路】設A=被觀察的一面是綠的，B=兩面都是綠,則需求P（B/A）=P（AB）/P（A）=P（B）/P（A）=1/4：1/2=1/2，所給答案卻2/3？

9、 在房間中有10個人,分別佩戴從1號到10號的紀念章,任選3人記錄其紀念章號碼,求:(1)最小號碼為5的概率，(2)最大號碼為5的概率.

【思路】最小號碼為5 的概率：

號碼5已確定，另外2人的號碼應從6、7、8、9、10中選出,所以概率為10/120＝1/12同樣最大號碼為5的概率：

號碼5已確定，另外2人的號碼應從1、2、3、4中選出,所以概率為6/120＝1/2010、從5 雙不同的鞋子中任取4 只,求這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少?

【思路】可以這樣理解，先算出沒有兩只配成一雙的情況，然后用1去減一下便可。4只鞋中沒有配成一雙的情況：10只鞋按配對分成5組，只要每次從一組中取出一只便能保證沒有配成雙的情況，那么組合數為： 10×8×6×4任取4只的組合數為：10×9×8×7所以沒有2只配對的概率為：10×8×6×4/10×9×8×7＝8/21故至少2只成對的概率為1－8/12＝13/2111、設有一個均勻的陀螺，其圓周的一半上均勻地刻上區間[0，1）上的諸數字，另一半上均勻地刻上區間[1，3）上的諸數字。旋轉這陀螺,求它停下來時其圓周上觸及桌面的點的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。

【思路】設陀螺觸及桌面的點的刻度落在[0，1）、[1，3]、[1/2，1）、[1，3/2]上的概率分別為p(01),p(13),p1,p2,則：

p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/812、設某家庭有3個孩子，在已知至少有一個女孩的條件下，求這個家庭中至少有一個男孩的概率。

【思路】設A為三人中至少有一個女孩，B為已知三人中有一個女孩另外至少有一個男孩；P（A） =1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8 , P(AB)=1-（1/2）*（1/2）=3/4,所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。

(這樣分析是認為三個孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三種情況，總共有八個樣本，這比拋硬幣難理解一些）13、求極限部分不能正常顯示，想要具體復習資料可以到清華版教材和相關復習資料。

14、求極限：lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n) (n趨于正無窮）；【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n)n->正無窮=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)…..(1-1/n)(1+1/n)=lim1/2 * 3/2 *2/3 * 4/3……* (n-1)/n * (n+1)/n=lim(n+1)/2n=1/215、如果數列{An}中，A1=1,且An+1=2nAn(n=1,2,…),則{An}的通項公式An＝？

【思路】An+1=2nAn => An+1/An=2n =>

A2/A1=2 , A3/A2=2^2 …..

(A2/A1)*(A3/A2)*……*( An /An-1)=2 22…… 2n-1=> An /A1=2 (1+2+…+n-1)=2n(n-1)/2=>An=2n(n-1)/216、設有4只壞，每只都能以同樣的落入4個格子中的任一個，求前2個球落入不同格子中的概率。

【思路】分別設四球為1號, 2號，3號和4號1號球落入某個格子有4種可能，那么2號球就只有3種可能3號4號可落入4個格子中的任意，有4，4種可能所以應為4*3*4*4/4417、甲，乙二人同時同地繞400米跑道賽跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次趕上乙，求乙速度.( 6s/m)【思路】3*400/(V+3) = 2*400/V 得V=6 (m/s)已知f(xy)=f(x)+f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=? (答案為a/x)【思路1】原方程兩邊對Y進行求偏導xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)與f’(y)都是對y偏導數xf’(x*1)=f’(1)=a      得 f’(x)=a/x【思路2】當⊿x→0時，令x+⊿x=xz則z=(1+⊿x/x)由f’(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x=f(1+⊿x/x)/⊿x    =f’(1)/x=a/x18、已知函數f(x+y,x-y)=x2-y2, 則f對x的偏導數加f對y的偏導數等于? (a)2x-2y (b)x+y【思路1】設U=x+y,v=x-yf(u,v)=uvf’x=f’u*u’x+f’v*v’x=v*1+u*1=u+vf’y=f’u*u’y+f’v*v’y=v-uf’x+f’y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y   選A【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),

令u=x+y, v=x-y, 則f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案為(b).

結論：b應該是對的，復合函數是相對與自變量而言的，自變量與字母形式無關，參見陳文燈的考研書。

19、已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的兩個實根分別在區間（0，1）和（1，2）內，則k的取值范圍是什么？答案為（-2，-1）U（3，4）【思路】畫圖可得f(0)>0,f(1)<0，f(2)>0代入計算即可A,B是一次隨機實驗的兩個事件，則————A. A-(B-A)=A-B      B. A-(B-A)=A【思路】b,利用定義可得20、設X是連續型隨機變量，其分布函數是F(X),如果EX存在，則當x->+∞時，1-F(x)是1/x的___。

A、等價無窮小           B、高價無窮小C、低價無窮小           D、同價無窮小【思路】由于EX存在，xf(x)的無窮積分收斂且為1／x的高階無窮小；因為函數g(x)=1/x的無窮積分積分不收斂可知，由比較判別法可知，如果為同階或低階無窮小，則xf(x)不收斂。

21、設有編號為1，2，3，…,n的n個求和編號為1，2，3，…,n的n個盒子。現將這n個球放入n個盒子內，要求每個盒子內放一個球，并且恰好有2 個球的編號和盒子的編號相同，則這樣的投放方法的總數為？

【思路】任給2 個球的編號和盒子的編號相同,則剩下n-2個球沒有一個編號相同；而剩下n-2個球沒有一個編號相同的概率為1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!；［注意：上面用到了這n個球放入n個盒子內，要求每個盒子內放一個球，至少有一個球的編號和盒子的編號相同的概率為1－1／2！＋1／3！－…＋（-1）^(n-1)/n!;］故恰好有2 個球的編號和盒子的編號相同的概率為(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)；給定2個球的編號和盒子的編號相同后可能的投放方法為(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!).

n個球中任取兩個的可能取法為C(2,n);2者相乘得出：恰好有2 個球的編號和盒子的編號相同，的投放方法的總數為C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!).

當n趨于無窮大時，取法為（n!/2）*[e^(-1)];【思路】如果以m代替2，通解為C(m,n)*(n-m)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-m)/(n-m)!)注：機工版P52頁21題如下：

設有編號為1，2，3，4，5的5個求和編號為1，2，3，4，5的5個盒子。現將這5個球放入這5個盒子內，要求每個盒子內放一個球，并且恰好有2 個球的編號和盒子的編號相同，則這樣的投放方法的總數為？

取n=5;取法為(5!/2)*(1/2!-1/3!)=20庫房有十箱零件（每箱都有許多），有6箱用新工藝做的，全合格。其余用舊工藝完成，75％的合格率。現隨機打開一箱取出三個，檢查其中一個為合格品，求另外兩個也合格的概率。

（答案為41/41=0.85）【思路1】Ai=正品 (i=1,2,3) B=新工藝 C=舊工藝P（B）=0.6 P（A/B）=1 P（C）=0.4 P（A/C）=3/4所求：P（A2*A3/A1）=P（A1*A2*A3）/P（A1）P（A1）=P（B）P（A1/B）+P（C）P（A1/C）=0.9P（A1*A2*A3）=P（B）P（A1*A2*A3/B）+P（C）P（A1*A2*A3/C）=0.6+0.4*（3/4）3P（A2*A3/A1）=P（A1*A2*A3）/P（A1）=41/48