高三數學復習：函數的奇偶性與周期性
一、函數的奇偶性
1.定義：對于函數f(x)，如果對于定義域內任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)為奇函數；
對于函數f(x)，如果對于定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)為偶函數；
2.性質：
(1)函數依據奇偶性分類可分為：奇函數非偶函數，偶函數非奇函數，既奇且偶函數，非奇非偶函數；
(2) f(x),g(x)的定義域為D；
(3)圖象特點：奇函數的圖象關于原點對稱；偶函數的圖象關于原點對稱；
(4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件，奇函數f(x)在原點處有定義，則有f(0)=0；
(5)任意一個定義域關于原點對稱的函數f(x)總可以表示為一個奇函數與偶函數的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]為偶函數，h(x)=-[f(x)-f(-x)]為奇函數；
(6)奇函數在關于原點對稱的區間具有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的區間具有相反的單調性。
3.判斷方法：
(1)定義法
(2)等價形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)為奇函數；
f(-x)-f(x)=0,f(x)為偶函數。
4.拓展延伸：
(1)一般地，對于函數y=f(x)，定義域內每一個自變量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于點(a,b)成中心對稱；
(2)一般地，對于函數y=f(x)，定義域內每一個自變量x都有f(a+x)=f(a-x)，則它的圖象關于x=a成軸對稱。
二、周期性：
1.定義：對于函數y=f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當自變量x取定義域內的每一個值時，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就稱函數y=f(x)為周期函數。
2.圖象特點：
將函數y=f(x)的圖象向左(右)平移的整數倍個單位，所得的函數圖象與函數y=f(x)的圖象重合。
3.函數圖象的對稱性與周期性的關系：
(1)若對于函數y=f(x)定義域內任意一個x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為：2|a-b|)
(2)若對于函數y=f(x)定義域內任意一個x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x)，(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為：2|a-b|)
(3)若對于函數y=f(x)定義域內任意一個x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為：4|a-b|)
典型例題
例1：判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)=(x-1)·■
解：函數的定義域為x∈{x|-1≤x<1}
函數f(x)=(x-1)·■為∴f(x)非奇非偶函數
(2) f(x)=loga(-x+-)
解：x∈R
f(-x)=loga(x+-
=loga-
=-loga(-x+-)=-f(x)
∴f(x)為奇函數
(3)f(x)=x·（-+-)
解：x∈{x∈R|x≠0}
f(-x)-f(x)=-x(-+-)-x(-+-)
=-x(-+-+1)=0
∴f(x)為偶函數
(4)f(x)=-
解：1+cosx+sinx≠0
sin(x+-)≠--，x∈{x|x≠2k-且x≠2k--，k∈R}
定義域不關于原點對稱，∴f(x)為非奇非偶函數
說明：
1.判斷函數的奇偶性首先要檢驗定義域是否關于原點對稱。特別應注意，求解定義域時，不能化簡解析式后再求解。
2.在判斷是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立時，必要時可使用等價變形形式：f(-x)±f(x)=0
例2：(1)已知：f(x)是奇函數，且x>0時f(x)=x|x-2|
求x<0的解析式
解：設x<0,則-x>0
-，
說明：1.利用函數的奇偶性求解析式，要將自變量x設在所求的范圍內。
2.轉化帶入利用定義構造方程。
(2)定義在R上的奇函數f(x)且滿足f(3+x)=f(3-x)，若x∈(0,3),f(x)=2x
求：當x∈(-6,-3)時，f(x)的解析式。
解：x∈(-6,-3) -x∈(3,6),6-(-x)∈(0,3)
-
∴f(x)=-2x+6
說明：1.合理分解題意是關鍵。
2.此題還可以應用周期性進行求解。
例3：已知：函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x)
(1)求證：f(x)為周期函數；
(2)若f(x)為奇函數，且當0≤x≤1時，f(x)=-x，求使得f(x)=--的所有x。
(1)解：-
∴f(x)=f(x+4)
f(x)為周期是4的周期函數。
(2)解：x∈[-1,0],-x∈[0,1]
-
∴f(x)=-x,x∈[-1,0]
∴f(x)=-x,x∈[-1,1]
x∈(1,3),∴-1
-
∴f(x)=--(x-2),x∈[1,3]
-
x∈[-1,3),f(x)=--,x=-1
∴x=4n-1,n∈Z
(責任編輯：盧雁明)
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