高二數學教案：二項式定理
目標：
知識與技能：進一步掌握二項式定理和二項展開式的通項公式
過程與方法：能解決二項展開式有關的簡單問題
情感、態度與價值觀：過程中，要讓學生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結果，而且可以啟發我們發現一般性問題的解決方法。
教學重點：二項式定理及通項公式的掌握及運用
教學難點：二項式定理及通項公式的掌握及運用
授課類型：新授課
課時安排：3課時
教 具：多媒體、實物投影儀
內容分析：
二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學習概率的重要基礎.這部分知識具有較高應用價值和思維訓練價值.中學教材中的二項式定理主要包括：定理本身，通項公式，楊輝三角，二項式系數的性質等.
通過二項式定理的學習應該讓學生掌握有關知識，同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能或技巧;進一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用;重視學生正確情感、態度和世界觀的培養和形成.
二項式定理本身是教學重點，因為它是后面一切結果的基礎.通項公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠，所以也應該是重點.
二項式定理的證明是一個教學難點.這是因為，證明中符號比較抽象、需要恰當地運用組合數的性質2、需要用到不太熟悉的數學歸納法.
在教學中，努力把表現的機會讓給學生，以發揮他們的自主精神;盡量創造讓學生活動的機會，以讓學生在直接體驗中建構自己的知識體系;盡量引導學生的發展和創造意識，以使他們能在再創造的氛圍中學習.
教學過程：
一、復習引入：
⑴ ;
⑵
⑶ 的各項都是 次式，
即展開式應有下面形式的各項： ， ， ， ， ，
展開式各項的系數：上面 個括號中，每個都不取 的情況有 種，即 種， 的系數是 ;恰有 個取 的情況有 種， 的系數是 ，恰有 個取 的情況有 種， 的系數是 ，恰有 個取 的情況有 種， 的系數是 ，有 都取 的情況有 種， 的系數是 ，
∴ .
二、講解新課：
二項式定理：
⑴ 的展開式的各項都是 次式，即展開式應有下面形式的各項：
， ，…， ，…， ，
⑵展開式各項的系數：
每個都不取 的情況有 種，即 種， 的系數是 ;
恰有 個取 的情況有 種， 的系數是 ，……，
恰有 個取 的情況有 種， 的系數是 ，……，
有 都取 的情況有 種， 的系數是 ，
∴ ，
這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫 的二項展開式，⑶它有 項，各項的系數 叫二項式系數，
⑷ 叫二項展開式的通項，用 表示，即通項 .
⑸二項式定理中，設 ，則
三、講解范例：
例1.展開 .
解一： .
解二：
.
例2.展開 .
解：
.
例3.求 的展開式中的倒數第 項
解： 的展開式中共 項，它的倒數第 項是第 項，
.
例4.求(1) ，(2) 的展開式中的第 項.
解：(1) ，
(2) .
點評： ， 的展開后結果相同，但展開式中的第 項不相同
例5.(1)求 的展開式常數項;
(2)求 的展開式的中間兩項
解：∵ ，
∴(1)當 時展開式是常數項，即常數項為 ;
(2) 的展開式共 項，它的中間兩項分別是第 項、第 項，
，
例6.(1)求 的展開式的第4項的系數;
(2)求 的展開式中 的系數及二項式系數
解： 的展開式的第四項是 ，
∴ 的展開式的第四項的系數是 .
(2)∵ 的展開式的通項是 ，
∴ ， ，
∴ 的系數 ， 的二項式系數 .
例7.求 的展開式中 的系數
分析：要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開
解：(法一)
，
顯然，上式中只有第四項中含 的項，
∴展開式中含 的項的系數是
(法二)：
∴展開式中含 的項的系數是 .
例8.已知 的展開式中含 項的系數為 ，求展開式中含 項的系數最小值
分析：展開式中含 項的系數是關于 的關系式，由展開式中含 項的系數為 ，可得 ，從而轉化為關于 或 的二次函數求解
解： 展開式中含 的項為
∴ ，即 ，
展開式中含 的項的系數為
，
∵ ， ∴ ，
∴
，∴當 時， 取最小值，但 ，
∴ 時， 即 項的系數最小，最小值為 ，此時 .
例9.已知 的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，
(1)證明展開式中沒有常數項;(2)求展開式中所有的有理項
解：由題意： ，即 ，∴ 舍去)
∴
①若 是常數項，則 ，即 ，
∵ ，這不可能，∴展開式中沒有常數項;
②若 是有理項，當且僅當 為整數，
∴ ，∴ ，
即 展開式中有三項有理項，分別是： ， ，
例10.求 的近似值，使誤差小于 .
解： ，
展開式中第三項為 ，小于 ，以后各項的絕對值更小，可忽略不計，
∴ ，
一般地當 較小時
四、課堂練習：
1.求 的展開式的第3項.
2.求 的展開式的第3項.
3.寫出 的展開式的第r+1項.
4.求 的展開式的第4項的二項式系數，并求第4項的系數.
5.用二項式定理展開：
(1) ;(2) .
6.化簡：(1) ;(2)
7. 展開式中的第 項為 ，求 .
8.求 展開式的中間項
答案：1.
2.
3.
4.展開式的第4項的二項式系數 ，第4項的系數
5. (1) ;
(2) .
6. (1) ;
(2)
7. 展開式中的第 項為
8. 展開式的中間項為
五、小結 ：二項式定理的探索思路:觀察――歸納――猜想――證明;二項式定理及通項公式的特點
六、課后作業： P36 習題1.3A組1. 2. 3.4
七、板書設計(略)
八、教學反思：
(a+b) n =
這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做 (a+b)n的 ，其中 (r=0,1,2,……,n)叫做 ， 叫做二項展開式的通項，它是展開式的第 項，展開式共有 個項.
掌握二項式定理和二項展開式的通項公式，并能用它們解決與二項展開式有關的簡單問題。
培養歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思維能力。教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機結合起來，是培養學生數學探究能力的極好載體，教學過程中，要讓學生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結果，而且可以啟發我們發現一般性問題的解決方法。
二項式定理是指
這樣一個展開式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展開式的一般形式，在初等數學中它各章節的聯系似乎不太多，而在高等數學中它是許多重要公式的共同基礎，根據二項式定理的展開，才求得y=xn的導數公式y′=nxn-1，同時 =e≈2.718281…也正是由二項式定理的展開規律所確定，而e在高等數學中的地位更是舉足輕重，概率中的正態分布，復變函數中的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二階變系數方程及高階常系數方程的解由e的指數形式來表達.且直接由e的定義建立的y=lnx的導數公式y= 與積分公式 =dxlnx+c是分析學中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導數為基礎建立的泰勒公式;f(x)=f(x0)+ (x-x0)2+… (x-x0)n+ (θ∈(0，1))以及由此建立的冪級數理論，更是廣泛深入到高等數學的各個分支中.
怎樣使二項式定理的教學生動有趣
正因為二項式定理在初等數學中與其他內容聯系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調，課本上先給出一個(a+b)4用組合知識來求展開式的系數的例子.然后推廣到一般形式，再用數學歸納法證明，因為證明寫得很長，上課時的板書幾乎占了整個黑板，所以課必然上得累贅，學生必然感到被動.那么多的算式學生看都不及細看，記也感到吃力，又怎能發揮主體作用?
怎樣才能使得在這節課上學生獲得主動?采用課前預習;自學輔導;還是學生討論，或讀，議、講，練，或目標教學，還是設置發現情境?看來這些辦法遇到真正困難時都會無能為力，因為這些方法都無法改變算式的冗長，證法的呆板，課堂上的新情境與學生的認知結構中的圖式不協調的事實.
(責任編輯：彭海芝)
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