高二數學教案：函數的極值
一、復習引入：
1. 常見函數的導數公式：
; ; ;; ; ; ;
2.法則1
法則2 ,
法則3
3.復合函數的導數： (理科)
4. 函數的導數與函數的單調性的關系：設函數y=f(x) 在某個區間內有導數，如果在這個區間內 >0，那么函數y=f(x) 在為這個區間內的增函數;如果在這個區間內 <0，那么函數y=f(x) 在為這個區間內的減函數
5.用導數求函數單調區間的步驟：①求函數f(x)的導數f′(x). ②令f′(x)>0解不等式，得x的范圍就是遞增區間.③令f′(x)<0解不等式，得x的范圍，就是遞減區間
二、講解新課：
1.極大值： 一般地，設函數f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點都有f(x)
2.極小值：一般地，設函數f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)>f(x0).就說f(x0)是函數f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點
3.極大值與極小值統稱為極值
在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數值請注意以下幾點：
(?)極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小
(?)函數的極值不是唯一的即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個
(?)極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數的極大值未必大于極小值，如下圖所示， 是極大值點， 是極小值點，而 >
(?)函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點
4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法:
若 滿足 ，且在 的兩側 的導數異號，則 是 的極值點， 是極值，并且如果 在 兩側滿足“左正右負”，則 是 的極大值點， 是極大值;如果 在 兩側滿足“左負右正”，則 是 的極小值點， 是極小值
5. 求可導函數f(x)的極值的步驟:
(1)確定函數的定義區間，求導數
(2)求方程 =0的根
(3)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格.檢查 在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值;如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值
三、講解范例：
例1求y= x3-4x+ 的極值
解：y′=( x3-4x+ )′=x2-4=(x+2)(x-2) 令y′=0，解得x1=-2，x2=2
當x變化時，y′，y的變化情況如下表
-2(-2,2)2
+0-0+
?極大值
?極小值
?
∴當x=-2時，y有極大值且y極大值= 當x=2時，y有極小值且y極小值=-5
例2求y=(x2-1)3+1的極值
解：y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2令y′=0解得x1=-1，x2=0，x3=1
當x變化時，y′，y的變化情況如下表
-1(-1,0)0(0,1)1
-0-0+0+
?無極值?極小值0?無極值?
∴當x=0時，y有極小值且y極小值=0
求極值的具體步驟：第一，求導數 .第二，令 =0求方程的根，第三，列表，檢查 在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值，如果左右都是正，或者左右都是負，那么f(x)在這根處無極值.
如果函數在某些點處連續但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點
四、課堂練習：
1.求下列函數的極值.
(1)y=x2-7x+6 (2)y=x3-27x
(1)解：y′=(x2-7x+6)′=2x-7令y′=0，解得x= .
當x變化時，y′，y的變化情況如下表.
-0+
?極小值
?
∴當x= 時，y有極小值，且y極小值=-
(2)解：y′=(x3-27x)′=3x2-27=3(x+3)(x-3)令y′=0，解得x1=-3，x2=3.
當x變化時，y′，y的變化情況如下表
-3(-3,3)3
+0-0+
?極大值54?極小值-54?
∴當x=-3時，y有極大值，且y極大值=54當x=3時，y有極小值，且y極小值=-54
(責任編輯：彭海芝)
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