高二數學學習方法：高二數學全國聯賽試題
一、選擇題(每小題6分，共36分)
給定公比為q(q≠1)的等比數列{an}，
設b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，...，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，...，
則數列{bn}( )
(A)是等差數列
(B)是公比為q的等比數列
(C)是公比為q3的等比數列
(D)既不是等差數列也不是等比數列
平面直角坐標系中，縱、橫坐標都是整數的點叫做整點，
那么，滿足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整點(x,y)的個數是( )
(A)16 (B)17 (C)18 (D)25
若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,則( )
(A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤0
給定下列兩個關于異面直線的命題：
命題I：若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么，c至多與a,b中的一條相交;
命題II：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線。
那么，()
(A)命題I正確，命題II不正確
(B)命題II正確，命題I不正確
(C)兩個命題都正確
(D)兩個命題都不正確
在某次乒乓球單打比賽中，原計劃每兩名選手比賽一場，但有3名選手各比賽了2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進行了50場。那么，在上述3名選手之間比賽的場數是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
已知點A(1,2)，過點(5,-2)的直線與拋物線y2=4x交于另外兩點B,C，那么，△ABC是( )
(A)銳角三角形 (B)鈍角三角形
(C)直角三角形 (D)答案不確定
二、填空題(每小題9分，共54分)
已知正整數n不超過2000，并且能表示成不少于60個連續正整數之和，
那么，這樣的n的個數是____。
已知θ=arctg(5/12)，那么，復數 z=(cos2θ +isin2θ )/(239+i)的輻角主值是____。
在△ABC中，記BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，
則ctg C / (ctgA+ctgB)=____。
已知點P在雙曲線x2/16-y2/9=1上，并且P到這條雙曲線的右準線的距離恰是P到這條雙曲線的兩個焦點的距離的等差中項，那么，P點的橫坐標是____。
已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，
并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數是____。
已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，A點在側面SBC上的投影H是△SBC的垂心，
二面角H-AB-C的平面角等于30o，SA=2√3。那么三棱錐S-ABC的體積為____。
三、(20分)
已知當x∈[0,1]時，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0恒成立，
試求θ的取值范圍。
四、(20分)
給定A(-2,2)，已知B是橢圓x2/25+y2/16=1上的動點，F是左焦點，
當|AB| + (5/3)|BF|取最小值時，求B的坐標。
五、(20分)
給定正整數n和正數M，對于滿足條件a12+an+12≤M的所有等差數列a1,a2,a3,...,
試求S=an+1+an+2+...+a2n+1的最大值。
加試
一、(50分)
在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD;
在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。
求證：∠GAC=∠EAC。
二、(50分)
給定實數a,b,c，已知復數z1,z2,z3滿足：
|
{ |
|z1|=|z2|=|z3|=1 |
|||||
|
z1 |
+ |
z2 |
+ |
z3 |
=1 |
|
|
z2 |
z3 |
z1 |
||||
求|az1+bz2+cz3|的值。
三、(50分)
給定正整數n，已知用克數都是正整數的k塊砝碼和一臺天平可以稱出質量為1,2,3,…,n克的所有物品。
(1)求k的最小值f(n);
(2)當且僅當n取什么值時，上述f(n)塊砝碼的組成方式是唯一確定的?并證明你的結論。
(責任編輯：彭海芝)
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