高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn):求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法
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求數(shù)列通項(xiàng)公式常用以下幾種方法:
一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數(shù)列或等差數(shù)列,直接用其通項(xiàng)公式。
例:在數(shù)列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求該數(shù)列的通項(xiàng)公式an。
解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出數(shù)列{an}為a1=1,d=2的等差數(shù)列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數(shù)列的定義判斷,是較簡單的基礎(chǔ)小題。
二、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,用公式
S1(n=1)
Sn-Sn-1(n2)
例:已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,第k項(xiàng)滿足5
(A)9(B)8(C)7(D)6
解:∵an=Sn-Sn-1=2n-10,∴5<2k-10<8∴k=8選(B)
此類題在解時(shí)要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與Sn的關(guān)系時(shí),通常用轉(zhuǎn)化的方法,先求出Sn與n的關(guān)系,再由上面的(二)方法求通項(xiàng)公式。
例:已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an=SnSn-1(n2),且a1=-,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
解:∵an=SnSn-1(n2),而an=Sn-Sn-1,SnSn-1=Sn-Sn-1,兩邊同除以SnSn-1,得---=-1(n2),而-=-=-,∴{-}是以-為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,∴-=-,Sn=-,
再用(二)的方法:當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=-,當(dāng)n=1時(shí)不適合此式,所以,
-(n=1)
-(n2)
四、用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式
對(duì)于題中給出an與an+1、an-1的遞推式子,常用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式。
例:設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
解:∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,∴an+1+an≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,這n-1個(gè)式子,將其相乘得:∴-=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈N*)
五、用構(gòu)造數(shù)列方法求通項(xiàng)公式
題目中若給出的是遞推關(guān)系式,而用累加、累積、迭代等又不易求通項(xiàng)公式時(shí),可以考慮通過變形,構(gòu)造出含有an(或Sn)的式子,使其成為等比或等差數(shù)列,從而求出an(或Sn)與n的關(guān)系,這是近一、二年來的高考熱點(diǎn),因此既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。
例:已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,……
(1)求{an}通項(xiàng)公式(2)略
解:由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--=(--1)(an--)
∴{an--}是首項(xiàng)為a1--,公比為--1的等比數(shù)列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--),于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例:在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈N*),證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列。
證明:本題即證an+1-(n+1)=q(an-n)(q為非0常數(shù))
由an+1=4an-3n+1,可變形為an+1-(n+1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列。
若將此問改為求an的通項(xiàng)公式,則仍可以通過求出{an-n}的通項(xiàng)公式,再轉(zhuǎn)化到an的通項(xiàng)公式上來。
又例:設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求{an}通項(xiàng)公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理為1-an=--(1-an-1),又1-a1≠0,所以{1-an}是首項(xiàng)為1-a1,公比為--的等比數(shù)列,得an=1-(1-a1)(--)n-1
(責(zé)任編輯:郭峰)
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