09年高考數學函數試題選編答案
一、構造一次函數
例1對于滿足0≤P≤4的所有實數P，使不等式x2+px>4x+p-3都成立的綿取值范圍是____
解：原不等式化為：x2+(x-1)p-4x+3>0
設f(p)=(x-1)p+x2--4x+3
問題轉化為求使f(p)>0的取值范圍
∵x-1≠0(否則原不等式不成立)
∴f(p)為一次函數，要便f(p)在0≤p≤4內恒大于0，則有f(0)>0f(4)>0
x2-4x+3>0x2-1>0
解得：x<-1或x>3
例2已知|a|<1、|b|<1、|c|<1，求證ab+bc+ac+1>0
證明：將字母a作為變元，構造函數
f(x)=(b+c)x+bc+1
只證|x|<1時f(x)>0
而f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0
f(-1)=-b-c+bc+1=(b-1)(c-1)>0
且f(x)是有單調性
∴-1
即|a|<1時，f(a)=ab+bc+ac+1>0成立.
評析構造函數法解題的思維過程具有一定靈活性和創造性，運用此法解題不僅需要掌握數學知識之間的聯系，而且具有較強的思維能力和創新意識。以上兩例通過巧妙地選擇變量構造一次函數，從而達到解題目的。
二、構造二次函數
例3(1993高考題)已知關于x的實系數方程x2+ax+b=0有二實根α、β，且2|a|<4+b|b|<4求證|α|<2.|β|<2
證明：構造二次函數f(x)=x2+ax+b與x軸交于兩點A(α0)、B(β0)只需證A、B在(-22)內.即證f(-2)>0f(2)>0頂點橫坐標|x0|<2即可.
事實上：2|a|<4+b即4±2a+b>0即f(2)>0f(-2)>0
又|b|<4∴|a|<2+|b|2<4∴|x0|=|-a2|<2
∴A、B兩點橫坐標α、β滿足|α|<2|β|<2.
例4已知a、b、c、d、e∈R且滿足a+b+c+d+e=8
a2+b
2+c
2+d
2+e
2=16，求e的最大值.
解構造二次函數
y=4x2+2(a+b+c+d)x+(a2+b
2+c
2+d
2)
則y=(x+a)2+(x+b)2+(x+c)2+(x+d)2≥0
由于二次函數的圖像開口向上，且圖像上的點都在x軸及其上方.
△=4(a+b+c+d)2-16(a2+b
2+c
2+d
2)≤0
△=(8-e)2-16(16-e2)≤0
∴0≤e≤165故e的最大值為165
評析構造二次函數可借助其判別式、韋達定理及函數圖像來幫助分析解題。運用構造二次函數方法解題，要求細心觀察，廣泛聯想，弄清條件與結論的關系，還要分析各類知識之間在思想、結構、方法等方面的聯系。
三、構造高次函數
例5已知x∈R、y∈R且(4x+y)9+x
9+5x+y=0
求5x+y的值.
解：(4x+y)9+4x+y=-x9-x
構造函數f(t)=t9+t則f(4x+y)=-f(x)
又f(-t)=-f(t)∴f(t)是R上的奇函數
又∵f(4x+y)=-f(x)=f(-x)
∴4x+y=-x∴5x+y=0
四、構造其它函數
例6求證：n≥3n∈N時，(n+1)n
n+1
證明：兩邊同時取對數n1n(n+1)<(n+1)1nn(n≥3)
即1n(n+1)
n+1
<1nnn
構造函數f(x)=1nxx問題轉化為證明f(x)在3，∞)上是減函數即可.
而f'(x)=1-1nxx2<0(x≥3>e).即問題獲證
例7已知x∈R確定x2+x+1√-x2-x+1√的取值范圍.
解構造函數
f(x)=x2+x+1√-x2-x+1√
=(x+12)2+(3√
2
)2√-(x-12)2+(3√
2
)2√
設A(x3√2
)B(-120)C(120)
則|AB|=(x+12)2+(3√
2
-0)
2√
|AC|=(x-12)2+(3√
2
-0)
2√|BC|=1
由三解形法則有|f(x)|=||AB|-|AC||
∴-1
構造函數的解題方法給學生創新思維的培養與發展提供了一個廣闊空間，需要不斷去探索、總結、發展。教師在教學中應鼓勵學生大膽嘗試、主動參與、積極探討，讓他們在觀察、分析、思考與運用中不斷提高。
談﹃構造函數﹄的解題策略蒼溪中學鮮彩霞
1、a=0時，區間(-∞，0)內減，(0，+∞)內為增；a>0時，區間(-∞，-2a)、(0，+∞)內為增，區間(-2a，0)內為減；a<0時，在區間(0，-2a)內為增，在區間(-∞，0)、(-2a，+∞)內為減。
2、(1)問f(x)max=0
3、x=log23
4、ymin=0ymax=ln2-14
5、(1).f(12i)=1
2i(i=12…)
(2).S(k)=23(1-k
4)，定義域為0
當k=1時取最小值為12.
6、(1).A=(-∞1)∪1+∞)
(2).a的取值范圍是(-∞2)∪121).
7、(1).f(-1)=2是極大值，f(1)=-2是極小值.
(2).切線方程為9x-y+16=0
8、(1).f(x)在區間(-∞-1)(1+∞)是增函數；在區間(-11)上是減函數，x=-1處取極大值，f(-1)=2.
10、(1).切線方程為e-tx+y-e-t(t+1)=0
(2).S(t)的最大值為S(1)=2e.
11、(1).f'(x)=3x2-x-4
(2).最小值為-5027最大值為92.(3).a∈-22.
12、(1).An=490n-10n2Bn=500n-5002n-100
(2).到少經過4年.
13、(1).a∈-11(2).m≥2或m≤-2.
14、(1).a=0時，在區間(-∞0)減，在(0+∞)為增；
a<0時，在區間(0，-2a)為增，
在區間(-∞0)、(-2a+∞)為減.
(2).a=0時，最大值f(1)=1-2
a≤-2時，最大值為f(-2a)=4a2e2.
15、(1).A=a|-1≤a≤1(2).m≥2或m≤-2.
(責任編輯：盧雁明)
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