運用向量方法解決軌跡方程
2009-02-19 11:08:48
來源：
天津市第四十二中學 李艷杰 二、運用兩非零向量共線的充要條件求軌跡方程。
例1：已知定點A(2,0)，點P在曲線x2+y2=1(x≠1)上運動，∠AOP的平分線交PA于Q，其中O為原點，求點Q的軌跡方程。
解: 設Q(x,y),P(x1,y1)
-=(x-2,y)
-=( x1-x,y1-y)
又∵-=-=-
∴ -=2-
即：(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)
-
解得：-
代入x12+y12=1(x≠1)有：
-(3x-2)2+-y2=1(x≠-)
即所求軌跡方程為：
(x--)2+y2=-(x≠-)
【點撥】用該方法解此類問題簡單明了，若將Q視為線段AP的定比分點，運用定比分點公式解本題，則計算過程既繁瑣又容易出錯。
例2：設過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若-=2-,且-·■=1,求P點的軌跡方程。
解：-=2-
∴P分有向線段-所成的比為2
由P(x,y)可得B(0,3y),A(-x,0)
∴- =(--x,3y)
∵Q與P關于y軸對稱, ∴Q(-x,y),-且 =(-x,y)
∴由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0)
即所求點P的軌跡方程為-x2+3y2=1(x>0,y>0)
【點撥】求動點軌跡方程時應注意它的完備性與純粹性。化簡過程破壞了方程的同解性，要注意補上遺漏的點或者挖去多余的點。
三、運用兩非零向量垂直的充要條件是求軌跡方程。
例1：如圖，過定點A(a,b)任意作相互垂直的直線l1與l2，且l1與x軸相交于M點，l2與y軸相交于N點，求線段MN中點P的軌跡方程。
解：設P(x,y)，則M(2x,0)，N(0,2y)
-=(2x-a ,-b)
-=(-a,2y-b)
由-⊥-知-·■=0
∴(2x-a)(-a)+(-b)(2y-b)=0
即所求點P的軌跡方程為2ax+2by=a2+b2
【點撥】用勾股定理解本題，運算繁瑣，若用斜率解本題，又必須分類討論，用向量的方法避免了上述兩種方法的缺陷，使解題優化。
例2：過拋物線y2=8x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，過原點O作OM⊥AB，垂足M，求點M的軌跡方程。
解：設M(x,y), OM⊥AB，F(2,0)
∵-·■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)
∴x(2-x)-y2=0，即：x2+y2-2x=0
∴點M的軌跡方程為x2+y2-2x=0
由以上幾例可以看出：軌跡方程的很多題目都可以用向量來探求思路。用向量解決求軌跡問題，最理想的情形是題設中有“向量的數量積”“平行”“垂直”，或結論與“垂直”有關。重要的是在學習和應用的過程中培養向量意識，使向量成為我們處理問題的基本工具。
(責任編輯：盧雁明)
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