西北工業大學2011年《數學(理學)》考研大綱

題號：360
　　《數學(理學)》考試大綱

　　一、考試內容
　　第一部分 高等數學
　　（一）、函數、極限、連續
　　考試內容
　　函數的概念及表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，復合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關系的建立，數列極限與函數極限的定義以及性質，函數的左極限與右極限，無窮小量與無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則:單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限：

　　函數連續的概念，函數間斷點的類型，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質。
　　考試要求
　　1. 理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題的函數關系。
　　2. 了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。
　　3. 理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。
　　4. 掌握基本初等函數的性質及圖形，了解初等函數的概念。
　　5. 理解極限的概念，理解函數的左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系。
　　6. 掌握極限的性質及四則運算法則。
　　7. 掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。
　　8. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。
　　9. 理解函數連續性的概念，會判別函數的間斷點的類型。
　　10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質 (有界性、比較大值和比較小值定理、介值定理)，并會應用這些性質。
　　（二）、一元函數微分學
　　考試內容
　　導數和微分的概念，導數的幾何意義和物理意義，函數的可導性與連續性之間的關系，平面曲線的切線和法線，導數和微分的四則運算，基本初等函數的導數，復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數，一階微分形式的不變性，微分中值定理，洛必達法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數圖形的描繪，函數的比較大值和比較小值，弧微分，曲率的概念，曲率圓與曲率半徑。
　　考試要求
　　1. 理解導數和微分的概念，理解導數和微分的關系，理解導數的幾何意義,會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性的關系。
　　2. 掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。
　　3. 了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。
　　4. 會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數及反函數的導數。
　　5. 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并會用柯西中值定理。
　　6. 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。
　　7. 理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數比較大值和比較小值的求法及其應用.
　　8. 會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平和鉛直漸近線，會描繪函數的圖形。
　　9. 了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。
　　（三）、一元函數的積分學
　　考試內容
　　原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，定積分的概念和基本性質，定積分中值定理，積分上限的函數及其導數，牛頓-萊布尼茨公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分，廣義積分，定積分的應用。
　　考試要求
　　1. 理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。
　　2. 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。
　　3. 會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。
　　4. 理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式。
　　5. 了解廣義積分的概念，會計算廣義積分。
　　6. 掌握用定積分表達和計算一些幾何量和物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為己知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數的平均值.
　　（四）、多元函數微分學
　　考試內容
　　多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數的極限與連續的概念，有界閉區域上多元連續函數的性質，多元函數的偏導數和全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復合函數、隱函數的求導法，二階偏導數，方向導數和梯度，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，多元函數的極值和條件極值，多元函數的比較大值、比較小值及其簡單應用。
　　考試要求
　　1. 理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義。
　　2. 了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質。
　　3. 理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。
　　4. 理解方向導數與梯度的概念，掌握其計算方法。
　　5. 掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法。
　　6．了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數
　　7. 了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。
　　8. 理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值；會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的比較大值和比較小值，并會解決一些簡單的應用問題。
　　（五）、常微分方程
　　考試內容
　　常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程組解的性質及解的結構定理，二階常系數齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數齊次線性微分方程，簡單的二階常系數非齊次線性微分方程。
　　考試要求
　　l. 了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。
　　2. 掌握變量可分離的微分方程及一階線性方程的解法，會求齊次微分方程。
　　3. 會用降階法求下列微分方程:

　　4. 理解線性微分方程解的性質及解的結構。
　　5. 掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。
　　6. 會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。
　　第二部分 線性代數初步
　　（一）、 行列式
　　考試內容
　　行列式的概念和基本性質，行列式按行(列)展開定理。
　　考試要求
　　1. 了解行列式的概念，掌握行列式的性質。
　　2. 會應用行列式的性質及行列式按行(列)展開定理計算行列式。
　　（二）、矩陣
　　考試內容
　　矩陣的概念，矩陣的線性運算，矩陣的乘法，方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉置，逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣，矩陣的初等變換，初等矩陣，矩陣的秩，矩陣的等價，分塊矩陣及其運算。
　　考試要求
　　1. 理解矩陣的概念。了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣和對稱矩陣以及它們的性質。
　　2. 掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質。
　　3. 理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件。理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。
　　4. 理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念。掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
　　5. 了解分塊矩陣及其運算。
　　（三）、線性方程組
　　考試內容
　　向量的概念，向量的線性組合和線性表示，向量組的線性相關與線性無關，向量組的極大無關組，向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩之間的關系，線性方程組的克萊姆法則，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，非齊次線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的性質和解的結構，齊次線性方程組的基礎解系和通解，非齊次線性方程組的通解。
　　考試要求
　　1. 理解n維向量、向量的線性組合和線性表示的概念。
　　2. 理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法。
　　3. 理解向量組的極大無關組與向量組的秩的概念，會求向量組的極大無關組及秩。
　　4. 會用克萊姆法則。
　　5. 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
　　6. 理解齊次線性方程組的基礎解系及通解的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系及通解的求法。
　　7. 理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。
　　8. 掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。
　　二、參考書目
　　1．西北工業大學高等數學教材編寫組編，《高等數學》,科學出版社，2005
　　2．西北工業大學線性代數編寫組編, 《線性代數》，科學出版社，2006
　　3. 陸全主編, 《高等數學常見題型解析及模擬題》，西北工業大學出版社，2003
　　4. 徐仲、張凱院主編，《線性代數輔導講案》，西北工業大學出版社， 2007