西北工業大學2011年《數學分析》考研大綱

題號：361
　　《數學分析》考試大綱

　　考試內容：
　　第一部分 一元函數微積分
　　一 極限理論 函數的連續性
　　1. 熟練掌握數列的極限理論, 包括極限的定義、性質等
　　2. 熟練掌握函數極限，包括定義、性質、無窮小量比較等
　　3. 熟練掌握函數的連續性與連續函數的性質, 包括連續點與間斷點的分類，初等函數的連續性，閉區間上連續函數性質。初掌握一致連續性
　　4. 掌握實數的完備性定理，包括確界存在原理、單調收斂定理、區間套定理、Cauchy收斂準則、聚點定理、有限覆蓋定理
　　5. 初步掌握上、下極限概念
　　二 導數與微分
　　1. 熟練掌握導數與微分的概念、性質，掌握導數與微分的應用，包括函數的單調性與極值，凹凸性, 拐點；漸近線與函數作圖
　　2. 熟練掌握求導法則，包括基本運算性質，復合函數求導法則，參數方程給出的函數的求導法則等
　　3. 熟練掌握微分中值定理，包括Fermat定理，Lagrange定理，Cauchy定理與Taylor公式, 熟練掌握不定型的極限的計算
　　三 積分
　　1. 深刻理解不定積分的概念和意義，熟練掌握包括分部積分法和換元積分法在內的積分法；掌握有理函數的積分法；熟悉三角函數有理式的積分法以及常見無理函數的積分法
　　2. 深刻理解定積分的概念及基本性質，熟練掌握定積分的計算, 掌握定積分的應用，包括微元法和面積、弧長、曲率等的計算
　　3. 熟悉反常積分理論
　　四 級數
　　1. 掌握數項級數的收斂概念與收斂判別法，熟練掌握正項級數的各種收斂判別法，熟練掌握一般項級數斂散判別法
　　2. 掌握函數項級數與函數項序列的性質以及一致收斂性的判別法
　　3. 熟練掌握冪級數收斂區間的概念及其確定方法，掌握函數展開成冪級數（Taylor級數）與一些常用函數的冪級數
　　4. 熟練掌握Fourier級數的概念及Fourier級數的收斂定理以及周期函數的Fourier級數展開；初步了解非周期函數的Fourier積分
　　第二部分 多元函數微積分
　　一 微分
　　1. 熟練掌握多元函數極限的概念、性質與計算
　　2. 熟練掌握多元函數的偏導數、梯度、方向導數、微分法、微分中值定理、極值的求解等
　　3. 掌握隱函數定理
　　4. 了解向量值函數的微分學
　　二 積分
　　熟練掌握二、三重積分，包括積分變換等計算方法 
　　熟練掌握第一型、第二型曲線積分, 以及它們之間的關系
　　熟練掌握第一型、第二型曲面積分的計算及它們之間的關系
　　熟練掌握Green公式、Gauss公式、Stokes公式
　　了解場論初步，包括幾種常見的數量場和向量場
　　掌握含參變量的積分理論, 包括基本性質、一致收斂性的判定、歐拉積分( 函數和 函數)
　　參考書
　　1. 李成章等，數學分析，科學出版社，1999
　　2. 陳記修等，數學分析，高等教育出版社，1999
　　3. 華東師范大學數學系，數學分析（第三版），高等教育出版社，2001