蘇州科技學院2011年《高等代數》考研大綱

《高等代數》考試大綱

　　一、本大綱適用于報考蘇州科技學院基礎數學專業的碩士研究生入學考試。主要考核高等代數課程的基本概念、基本理論與基本計算方法。
　　二、考試內容與要求
　　（一）多項式
　　內容：
　　1、數域及一元多項式的概念和運算
　　2、多項式的整除性、帶余除法、比較大公因式
　　3、多項式的因式分解、重因式、多項式函數及多項式的根
　　4、復數域，實數域和有理數域上多項式的因式分解
　　5、多元多項式及對稱多項式
　　要求：
　　理解一元多項式的有關概念，掌握多項式的運算，比較大公因式和有理根的求法，互素，有無重因式的判別方法，能夠熟練運用一元多項式的基本概念、基本理論和基本方法證明多項式中的一些問題。了解多元多項式。
　　（二）行列式
　　內容：
　　1、n階行列式的定義和性質
　　2、行列式按行（列）展開的公式
　　3、拉普拉斯定理
　　4、克蘭姆法則
　　要求：
　　理解行列式的概念，行列式的性質，掌握行列式的計算方法，克蘭姆法則的運用。
　　（三）線性方程組
　　內容：
　　1、線性方程組的消元法
　　2、n維向量的概念、運算、性質
　　3、向量組的線性相關性
　　4、矩陣的秩，線性方程組有解的判別法
　　5、線性方程組的解結構
　　要求：
　　能熟練運用消元法解線性方程組，掌握矩陣的秩、向量組的秩及極大線性無關組的求法，掌握向量組的線性相關性的基本概念和結論，矩陣秩的相關概念和方法。能夠熟練利用向量組的有關知識分析討論關于線性方程組的一些問題并能正確使用有解判別法。
　　（四）矩陣
　　內容：
　　1、矩陣的運算、性質
　　2、可逆矩陣的概念、性質，逆矩陣的求法
　　3、矩陣的分塊運算、應用
　　4、初等矩陣與初等變換的關系，用初等變換求逆矩陣的方法
　　要求：
　　能熟練地進行矩陣的運算，熟悉矩陣乘積的行列式及秩的定理，掌握可逆矩陣的概念、性質、初等變換和初等矩陣的關系。掌握矩陣分塊的應用及用初等變換求逆矩陣的方法。
　　（五）二次型
　　內容：
　　1、二次型的定義及表示，二次型的標準型
　　2、標準型的唯一性
　　3、正定二次型的定義及判定
　　要求：
　　熟悉二次型的幾種表示方法，知道二次型經過非退化線性替換仍變為二次型以及前后兩個二次型的關系，掌握二次型化為標準型的方法，理解復二次型和實二次型的規范形的唯一性，掌握實二次型正定的判別方法
　　（六）線性空間
　　內容：
　　1、線性空間的定義和性質
　　2、向量組的線性相關性、基、維數和坐標，基變換和坐標變換
　　3、子空間、子空間的交與和、直和
　　4、線性空間的同構
　　要求：
　　深刻理解線性空間的概念和性質，初步了解公理化思想方法，理解基、維數、坐標和子空間的概念，掌握基、維數、坐標的求法，基變換公式和坐標變換公式，維數公式的應用，和是直和的判別方法，理解同構的概念及相關結論。
　　（七）線性變換
　　內容：
　　1、線性變換的定義、性質和運算
　　2、線性變換和矩陣的關系
　　3、特征值、特征向量
　　4、對角化問題
　　5、線性變換的值域、核、不變子空間
　　6、比較小多項式
　　要求：
　　理解線性變換、相似、特征值與特征向量，值域與核以及不變子空間等概念，掌握線性變換與矩陣的關系，線性變換可對角的條件，不變子空間和線性變換矩陣化簡的關系，比較小多項式的性質及求法，比較小多項式和矩陣可對角化的關系。
　　（八）λ-矩陣
　　內容：
　　1、λ-矩陣的概念，標準形
　　2、不變因子，初等因子，矩陣相似的條件
　　3、若當標準形理論推導
　　要求：
　　理解λ-矩陣的有關概念,能把λ-矩陣化為標準形，理解行列式因子，不變因子，初等因子的概念，弄清它們之間的關系，掌握矩陣相似的判別條件，會求行列式因子，不變因子，初等因子，若當標準形。
　　（九）歐氏空間
　　內容：
　　1、歐氏空間的定義及基本性質
　　2、標準正交基和正交化方法
　　3、歐氏空間的同構
　　4、正交變換與正交矩陣
　　5、對稱變換與對稱矩陣
　　6、比較小二乘法，酉空間簡介
　　要求：
　　理解歐氏空間、正交變換、對稱變換及酉空間的概念，掌握標準正交基的求法，實對稱矩陣對角化方法，掌握正交變換，對稱變換的判別方法，了解比較小二乘法及酉空間的相關結論。
　　三、主要參考書
　　《高等代數》（第三版），北京大學數學系，高等教育出版社，2003年。
　　四、主要題型：
　　填空題，選擇題，計算題，解答題，證明題，綜合題。