蘇州科技學院2011年《數學分析》考研大綱

《數學分析》考試大綱

　　一、本大綱適用于報考蘇州科技學院基礎數學專業的碩士研究生入學考試。主要考核數學分析課程的基本概念、基本理論、基本方法。
　　二、考試內容與要求
　　(一) 實數集與函數
　　1、實數：實數的概念，實數的性質，絕對值與不等式;
　　2、數集、確界原理：區間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理;
　　3、函數概念：函數的定義，函數的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數；
　　4、具有某些特征的函數：有界函數，單調函數，奇函數與偶函數，周期函數。
　　要求：了解數學的發展史與實數的概念，理解絕對值不等式的性質，會解絕對值不等式；弄清區間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數集的確界；掌握函數的定義及函數的表示法，了解函數的運算；理解和掌握一些特殊類型的函數。
　　(二) 數列極限
　　1、極限概念；
　　2、收斂數列的性質：唯一性，有界性，保號性，單調性；
　　3、數列極限存在的條件：單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則。
　　要求：逐步透徹理解和掌握數列極限的概念；掌握并能運用e-N語言處理極限問題；掌握收斂數列的基本性質和數列極限的存在條件(單調有界函數和迫斂性定理)，并能運用；了解數列極限柯西準則,了解子列的概念及其與數列極限的關系；了解無窮小數列的概念及其與數列極限的關系.
　　(三) 函數極限
　　1、函數極限的概念，單側極限的概念；
　　2、函數極限的性質：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；
　　3、函數極限存在的條件：歸結原則（Heine定理），柯西準則；
　　4、兩個重要極限；
　　5、無窮小量與無窮大量，階的比較。
　　要求：理解和掌握函數極限的概念；掌握并能應用e-d, e-X語言處理極限問題；了解函數的單側極限，函數極限的柯西準則；掌握函數極限的性質和歸結原則；熟練掌握兩個重要極限來處理極限問題。
　　(四) 函數連續
　　1、函數連續的概念：一點連續的定義，區間連續的定義，單側連續的定義，間斷點及其分類；
　　2、連續函數的性質：局部性質及運算，閉區間上連續函數的性質（比較大比較小值性、有界性、介值性、一致連續性），復合函數的連續性，反函數的連續性；
　　3、初等函數的連續性。
　　要求：理解與掌握一元函數連續性、一致連續性的定義及其證明，理解與掌握函數間斷點及其分類，連續函數的局部性質；理解單側連續的概念；能正確敘述和簡單應用閉區間上連續函數的性質；了解反函數的連續性，理解復合函數的連續性，初等函數的連續性。
　�。ㄎ澹� 導數與微分
　　1、導數概念：導數的定義、單側導數、導函數、導數的幾何意義；
　　2、求導法則：導數公式、導數的運算(四則運算)、求導法則（反函數的求導法則，復合函數的求導法則，隱函數的求導法則，參數方程的求導法則）；
　　3、微分：微分的定義，微分的運算法則，微分的應用；
　　4、高階導數與高階微分。
　　要求：理解和掌握導數與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求函數的導數；理解單側導數、可導性與連續性的關系，高階導數的求法；了解導數的幾何應用，微分在近似計算中的應用。
　�。�六） 微分學基本定理
　　1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；
　　2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；
　　3、泰勒公式。
　　要求：掌握中值定理的內容、證明及其應用；了解泰勒公式及在近似計算中的應用，能夠把某些函數按泰勒公式展開；能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限
　　（七） 導數的應用
　　1、函數的單調性與極值；
　　2、函數凹凸性與拐點.
　　要求：了解和掌握函數的某些特性(單調性、極值與比較值、凹凸性、拐點)及其判斷方法，能利用函數的特性解決相關的實際問題。
　　（八） 實數完備性定理及應用
　　1、實數完備性六個等價定理：閉區間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理；
　　2、閉區間上連續函數整體性質的證明：有界性定理的證明，比較大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續性定理的證明；
　　3、上、下極限。
　　要求：了解實數連續性的幾個定理和閉區間上連續函數的性質的證明；理解聚點的概念，上、下極限的概念。
　�。ň牛� 不定積分
　　1、不定積分概念；
　　2、換元積分法與分部積分法；
　　3、幾類可化為有理函數的積分；
　　要求：理解原函數和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。
　　（十） 定積分
　　1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數可積的必要條件；
　　2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達布上和與達布下和，可積函數類(連續函數，只有有限個間斷點的有界函數，單調函數)；
　　3、微積分學基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；
　　4、非正常積分：無窮積分收斂與發散的概念，審斂法（柯西準則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發散的概念，收斂判別法。
　　要求：理解定積分概念及函數可積的條件；熟悉一些可積分函數類，會一些較簡單的可積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質；能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。
　　（十一） 定積分的應用
　　1、定積分的幾何應用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數的立體體積，旋轉體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；
　　2、定積分在物理上的應用：功、液體壓力、引力。
　　要求：重點掌握定積分的幾何應用；掌握定積分在物理上的應用；在理解并掌握"微元法"。
　�。ㄊ�二） 數項級數
　　1、級數的斂散性：無窮級數收斂，發散等概念，柯西準則，收斂級數的基本性質；
　　2、正項級數：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；
　　3、一般項級數：交錯級數與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
　　要求：理解無窮級數的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數的性質；能夠應用正項級數與任意項級數的斂散性判別法判斷級數的斂散性；熟悉幾何級數調和級數與p級數。
　�。ㄊ�三） 函數項級數
　　1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優級數判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；
　　2、一致收斂的函數列與函數項級數的性質（連續性，可積性，可微性）。
　　要求：掌握收斂域、極限函數與和函數一致斂等概念；掌握極限函數與和函數的分析性質(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數項級數與函數列的一致收斂。
　�。ㄊ�四） 冪級數
　　1、冪級數：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質；
　　2、幾種常見初等函數的冪級數展開與泰勒定理。
　　要求：了解冪級數，函數的冪級數及函數的可展成冪級數等概念；掌握冪級數的性質；會求冪級數的收斂半徑與一些冪級數的收斂域；會把一些函數展開成冪級數，包括會用間接展開法求函數的泰勒展開式
　�。ㄊ�五） 付里葉級數
　　1、付里葉級數：三角函數與正交函數系, 付里葉級數與傅里葉系數, 以２ 為周期函數的付里葉級數, 收斂定理；
　　2、以2L為周期的付里葉級數；
　　3、收斂定理的證明。
　　要求：理解三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數的概念；掌握傅里葉級數收斂性判別法；能將一些函數展開成傅里葉級數；了解收斂定理的證明。
　�。ㄊ�六） 多元函數極限與連續
　　1、平面點集與多元函數的概念；
　　2、二元函數的極限、累次極限；
　　3、二元函數的連續性：二元函數的連續性概念、連續函數的局部性質及初等函數連續性。
　　要求：理解平面點集、多元函數的基本概念；理解二元函數的極限、累次極限、連續性概念，會計算一些簡單的二元函數極限；了解閉區間套定理，有限覆蓋定理，多元連續函數的性質。
　　（十七） 多元函數的微分學
　　1、可微性：偏導數的概念 ，偏導數的幾何意義，偏導數與連續性；全微分概念；連續性與可微性，偏導數與可微性；
　　2、多元復合函數微分法及求導公式；
　　3、方向導數與梯度；
　　4、泰勒定理與極值。
　　要求：理解并掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數及極值等概念及其計算；弄清全微分、偏導數、連續之間的關系；了解泰勒公式；會求函數的極值、比較值。
　�。ㄊ�八） 隱函數定理及其應用
　　1、隱函數：隱函數的概念，隱函數的定理，隱函數求導舉例；
　　2、隱函數組：隱函數組存在定理，反函數組與坐標變換，雅可比行列式；
　　3、幾何應用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。
　　要求：了解隱函數的概念及隱函數的存在定理，會求隱函數的導數；了解隱函數組的概念及隱函數組定理，會求隱函數組的偏導數；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；了解條件極值概念及求法。
　�。ㄊ�九） 重積分
　　1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數，二重積分的性質；
　　2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標變換，一般變換）；
　　3、含參變量的積分；
　　4、三重積分計算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換）；
　　5、重積分應用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉動慣量；
　　6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數項級數一致收斂性的關系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質；
　　7、歐拉積分：格馬函數及其性質,貝塔函數及其性質。
　　要求：了解含參變量定積分的概念與性質；熟練掌握二重、三重積分的概念、性質、計算及基本應用；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；理解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理，并掌握它們的應用；了解歐拉積分。
　�。ǘ�十） 曲線積分與曲面積分
　　1、第一型曲線積分的概念、性質與計算，第一型曲面積分的的概念、性質與計算；
　　2、第二型曲線積分的概念、性質與計算，變力作功，兩類曲線積分的聯系；
　　3、格林公式，曲線積分與路線的無關性, 全函數；
　　4、曲面的側，第二型曲面積分概念及性質與計算，兩類曲面積分的關系;
　　5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關性；
　　6、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度。
　　要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質及計算；了解兩類曲線積分的關系和兩類曲面積分的關系；熟練掌握格林公式的證明及其應用，會利用高斯公式、斯托克斯公式計算一些曲面積分與曲線積分；了解場論的初步知識。
　　三、主要參考書
　　《數學分析》（第三版），華東師范大學數學系編，高等教育出版社，2004年。
　　《數學分析中的典型問題與方法》，裴禮文，高等教育出版社，1993年。
　　四、主要題型：
　　填空題，選擇題，計算題，解答題，證明題，應用題。