中國科學院研究生院《高等代數》2011年考研大綱

中科院研究生院碩士研究生入學考試《高等代數》考試大綱

　　本《高等代數》考試大綱適用于中國科學院研究生院數學和系統科學等學科各專業碩士研究生入學考試。高等代數是大學數學系本科學生的比較基本課程之一，也是大多數理工科專業學生的必修基礎課。它的主要內容包括多項式、行列式和線性方程組、矩陣及其標準形、特征值和特征向量、線性變換和矩陣范數。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。
　　一、考試的基本要求
　　要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
　　二、考試方法和考試時間
　　高等代數考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
　　三、考試內容
　　（一） 多項式
　　1． 一元多項式的因式、帶余除法公式及互素的概念及判別；
　　2． 復根存在定理；
　　3． 根與系數關系；
　　4． Sturm定理。
　　（二） 行列式
　　1． 行列式的置換、對換、置換奇偶性；
　　2． 行列式的定義，基本性質及計算；
　　3． Vandermonde行列式；
　　4． 行列式的代數余子式、Cramer法則。
　　（三） 矩陣
　　1． 矩陣基本運算、分塊矩陣運算；
　　2． 初等矩陣、初等變換和矩陣的秩；
　　3． 矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式；
　　4． 行列式乘積定理；
　　5． 矩陣和轉置、Hermite共軛；
　　6． 對角陣、三角陣、三對角陣；
　　7． 矩陣的跡、方陣多項式；
　　8． 廣義逆矩陣。
　　（四） 線性方程組求解
　　1． 線性方程組有解的充分必要條件；
　　2．Gauss消元法；
　　3．三角分解。
　　（五） 線性空間和線性變換；
　　1． 向量的線性相關和線性無關；
　　2． 線性空間的定義及性質；
　　3． 向量組的秩、線性空間的基及坐標；
　　4． 線性變換的矩陣表示；
　　5． 矩陣相似；
　　6． 不變子空間；
　　7． 子空間的直接和、維數公式；
　　8． 線性空間的同構。
　　（六） 特征值和特征向量
　　1． 特征值和特征多項式；
　　2． 特征向量、特征子空間、度數和重數；
　　3． 非虧損矩陣的完全特征向量系和譜分解；
　　4． 特征值估計的圓盤定理；
　　5． 三對角矩陣的特征值與Sturm定理。
　　（七） 內積空間和等積變換
　　1． Euclid空間的標準正交基，施密特（Schmidt）正交化；
　　2． Gram行列式；
　　3． 正交變換及其矩陣表示；
　　4． 初等旋轉和鏡像變換；
　　5． QR分解；
　　6． 酉空間和酉變換；
　　7． 正交相似變換和酉相似變換；
　　8． 向量到子空間的距離、比較小二乘。
　　（八） 二次型和對稱矩陣
　　1． 二次型及其標準形、慣性定理；
　　2． 實對稱矩陣正定的充分必要條件；
　　3． Rayleign商；
　　4． 極大－極小原理、極小－極大原理；
　　5． 正定矩陣的開方和Cholesky分解；
　　6． Hermite型和Hermite矩陣；
　　7． 正規矩陣。
　　（九） Jordan標準形
　　1． 向量的比較小化零多項式；
　　2． 線性變換及矩陣的比較小多項式；
　　3． 矩陣的Jordan標準形及其唯一性；
　　4． 初等因子和不變因子；
　　5． 矩陣函數。
　　（十） 極限和范數
　　1． 向量和矩陣的極限；
　　2． 向量范數和范數等價定理；
　　3． 相容范數和從屬范數；
　　4． 矩陣依范數的收斂性。
　　四、掌握重點
　　（一） 行列式乘積定理及其應用
　　（二） 分塊矩陣運算及其應用
　　（三） 矩陣三角分解及其應用
　　（四） 矩陣的秩及其應用
　　（五） 線性空間的概念及性質
　　（六） 線性變換下的不變子空間及其矩陣表示
　　（七） 圓盤定理與特征值估計
　　（八） 二次型的標準形
　　（九） 實對稱矩陣及其性質
　　（十） 矩陣Jordan標準型的計算及其應用
　　（十一） 矩陣范數與矩陣收斂
　　五、主要參考書目
　　[1] 北京大學編《高等代數》，高等教育出版社，1978年3月第1版 ，2003年7月第3版 ，2003年9月第2次印刷.
　　[2] 復旦大學蔣爾雄等編《線性代數》，人民教育出版社，1988.
　　[3] 張禾瑞，郝鈵新，《高等代數》，高等教育出版社， 1997.