2017年考研數學考試分析之高頻大題

 　　2017年考研數學考試分析之高頻大題

　　考研數學的考點較分散，所以提醒考生打牢基礎，作全面的復習。在此基礎上，那些真題中高頻必考題型，考生須給予重視。本文為考生揭開高數中那些高頻必考大題的神秘面紗。

　　一、極限計算

　　整張試卷共23題，其中第15題幾乎是極限計算大題的代名詞。極限計算有8種武器，分別為：四則運算法則、等價無窮小替換、洛必達法則、冪指型函數的處理、單側極限、夾逼定理、單調有界必有極限原理和泰勒公式。

　　考生在基礎階段要把前5種武器掌握好：內容是什么弄清楚，會應用。后3種武器較難把握，我們可以分階段啃下這幾個硬骨頭。基礎階段弄清定理內容，會做基本題目。

　　對于夾逼定理，內容方面，考生要知曉它有數列和函數兩種形式。每種形式條件是什么，結論是什么要理解。以數列形式為例，條件是一個數列夾在另兩個數列之間(bn<= an<= cn, 只要n充分大時成立即可，因為考慮的是極限)，且有n趨于無窮時，兩邊的數列收斂到相同的數，結論是夾在中間的數列極限存在且極限值也為相同的數。應用方面，要熟悉夾逼定理推出的一個結論：無窮小乘有界量等于無窮小。會用夾逼定理計算一種長得很有型的數列的極限——n項分母互不相同的分式的和的極限。

　　對于單調有界必有極限原理，內容不難理解。應用方面，可以處理另一種長得很有型的數列的極限問題——遞推式數列的極限的存在性問題中的簡單題;也可以到了強化階段再全面處理這種題。

　　泰勒公式可以說是算極限的最強大的武器。萬物對立統一，這么強大的武器理解和運用起來自然會有些難度。基礎階段，要理解泰勒公式有兩種形式——帶皮亞諾余項的公式和帶拉格朗日余項的公式，前者用來算極限，后者用來證明。算極限，需要記憶常見函數的泰勒公式。

　　二、中值相關證明

　　中值相關證明是考研數學公認的難點，考生得分率在30%以下。該部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。基礎階段，要求考生對上述定理的內容能完整表述，前四個定理會證明。

　　在基礎階段提出“會證”的要求并不過分，理由有三：1. 2015年真題考到了乘積的導數公式的證明，這提醒考生教材中的重要定理要會證;2. 2009年數一、二、三考了拉格朗日中值定理的證明3. 教材中原定理的證明中蘊含中證明其它結論的思想。

　　三、多元極值

　　多元極值問題分成兩個子問題：無條件極值和條件極值。

　　1. 無條件極值

　　此類問題的表述為：求某二元函數f(x，y)的極值(或最值)。處理思路為利用多元函數極值的必要條件和充分條件。通過必要條件找出可能的極值點(駐點和不可導點)，利用充分條件一一判斷。這部分考點及處理方式可以看成一元函數極值問題的考點及處理方式的自然推廣。

　　2. 條件極值

　　此類問題的表述為：求某二元函數f(x，y)在約束條件g(x，y)=0下的極值(或最值)。處理思路為拉格朗日乘數法。

　　四、二重積分

　　二重積分幾乎是數學二、數學三的必考內容，也是數學一同學學習多元積分的基礎。二重積分比較關鍵的是計算步驟。拿到一個二重積分，第一步應檢驗奇偶對稱性。有同學可能由于想不到或急于求成，未用對稱性化簡，結果徒增運算量，增大出錯的概率。第二步應選擇坐標系。只需搞清何時選擇極坐標系，其余情況選擇直角坐標系既可。二重積分有兩個要素——積分區域和被積函數，所以計算過程中涉及到選擇的時候要一看積分區域，二看被積函數。積分區域若為圓域或部分圓域，或者區域的邊界的極坐標方程較直角坐標方程簡單，則選極坐標系，若被積函數為“f(x^2+ y^2)”的形式，也選極坐標系。

　　若選擇了極坐標系，那接下來干什么?要選擇積分次序嗎?不用選，肯定是先對r積分后對角度積分，另一種次序的積分幾乎沒出現過。再往后就是定限了。極坐標系下定限可以簡單概括為：從原點出發畫一條射線穿過積分區域，與積分區域的邊界有兩個交點，這兩個交點的r坐標即為第一次積分的積分上下限(把交點的r坐標用角度表示)。接下來，讓剛才畫的這條射線繞著原點旋轉，直到與積分區域的邊界相切，這兩條切線對應的角度即為第二次積分的積分上下限。

　　若選擇了直角坐標系，那接下來要選擇積分次序。又涉及到選擇了，當然是一看積分區域，二看被積函數。看積分區域的原則是避免分類討論，看被積函數的原則是讓第一次積分簡單。次序選完后，就進入到收官階段——定限了。直角坐標系下定限可以簡單概括為：先對誰積分就畫一條平行于哪個坐標軸的直線，穿過積分區域，與積分區域的邊界有兩個交點。這兩個交點就對應著第一次積分的積分上下限。接下來，讓剛才畫的這條直線平行移動，直到與積分區域的邊界相切。這兩條切線就對應著第二次積分的積分上下限。

　　五、冪級數求和、展開

　　處理此類問題可以從兩方面把握：工具和思路。

　　工具包括一般函數f(x)的泰勒級數、常見函數的泰勒級數和逐項求導、積分定理。把這三部分內容理解到位是處理求和、展開問題的前提。

　　函數展開成冪級數有兩種方法：直接法和間接法。絕大部分真題用的是間接法。所謂間接法，即記住常用函數的泰勒展開公式，然后看題目所給函數跟哪個公式像，則朝該公式的方向變形。變形的方式包括基本變形(如裂項)和求導、求積。后一種變形方式考頻更高。此種變形也可以這么理解：題目所給函數直接套公式不行，也不能通過基本變形后套公式，那就考慮求導數或求積分，把運算后的函數套公式展開成冪級數，然后做逆運算還原。

　　冪級數求和實質是函數展開成冪級數的逆過程，類似考慮即可。

　　六、經濟應用(數三)

　　經濟應用包括三方面的內容：最值問題、邊際問題和彈性問題。最值問題需熟悉經濟學中常用量(收益、利潤、成本、價格和銷量)的關系，據此寫出函數表達式，進而化為普通的高數的最值問題;“邊際”對應“導數”，如邊際利潤即利潤函數L(Q)的導數;彈性需記清需求彈性的基本公式。

　　七、多元積分(數一)

　　多元積分是數一的必考題型，平均每年一道大題，一道小題。該部分內容包括三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲面積分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。主要考計算。

　　在基礎階段，考生需分清這幾種積分和幾大公式，重點把握計算方法。

　　三重積分看成二重積分的推廣，計算方法是化成三次定積分(或一次定積分和一次二重積分)。具體的計算方法有三種：“先一后二”、“先二后一”和球坐標。

　　第一類曲線積分計算方法可概括為“帶入、定限”。對稱性化簡類似于重積分。

　　第二類曲線積分計算方法也可概括為“帶入、定限”，不過定限時不同于第一類曲線積分的“從小到大”，而是“從起點到終點”。當然，此種類型積分的更重要的計算方法是利用格林公式。從考試的角度，此部分的重點在于格林公式、與此有關的積分與路徑無關和二元函數的全微分。

　　第一類曲面積分計算方法可概括為“帶入、投影”。對稱性化簡類似于重積分。

　　第二類曲面積分計算方法也可概括為“帶入、投影”，不過投影時須考慮方向。從考試的角度，此部分的重點在于高斯公式。

　　斯托克斯公式本身形式較復雜，考試要求不高：記清基本公式，弄清何時用即可。計算第二類曲線積分，積分曲線不易參數化時，考慮此公式。

　　最后，再提醒考生一句：抓重點與打牢基礎并不矛盾，不是相互排斥的關系。只有在打牢基礎的前提下，抓住重點，才能起到點睛的效果。祝2017的考生開局順利!