2011年海天考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：羅爾定理

     羅爾定理 如果函數(shù)f（x）滿足

    （1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得[考點(diǎn)一] 通過(guò)對(duì)羅爾定理的分析，我們可以得到這樣的推廣即 在 上有n階導(dǎo)數(shù)，在n+1個(gè)點(diǎn)上函數(shù)值相等， ，則至少存在一點(diǎn) 使「例1.證明題」若函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且 其中 證明：在 內(nèi)至少有一點(diǎn) 使得分析：f（x）在[x1，x2]， [x2，x3]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，因此存在f'（ξ1）=0， f'（ξ2）=0在[ξ1，ξ2]上對(duì)于f'（x）再用羅爾定理，即有f"（ξ）=0證明：f（x）在（a，b）上有二階導(dǎo)數(shù)，因此f'（x），f（x）都存在且連續(xù)，又有f（x1）= f（x2）=f（x3）

    因此f（x）在[x1， x2] ， [x2， x3]上滿足羅爾定理?xiàng)l件故 ， 使f'（ξ1）=0，f'（ξ2）=0于是f'（x）在[ξ1，ξ2]上滿足羅爾定理?xiàng)l件故 使得f''（ξ）=0「例2.證明題」（07年數(shù)學(xué)一（19）題）

    設(shè)函數(shù) ， 在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且存在相等的最大值 ， 證明：存在 使得分析：證明f"（ξ）= g"（ξ），即證f"（ξ）- g"（ξ）=0考慮函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x），也就是證明φ"（ξ）=0根據(jù)已知φ（a）= φ（b）=0，那么由推廣的羅爾定理只要再找到一點(diǎn)η∈（a，b）， 使φ（η）=0即得結(jié)論。

    證明：考慮函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x），由于f（x），g（x）在（a，b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，從而φ'（x），存在且連續(xù)。又f（x），g（x）在[a，b]連續(xù)，從而φ（x）在[a，b]連續(xù)。

    從而φ（x）在[a，b]連續(xù)，且φ（a）= φ（b）=0由于f（x），g（x）有相同的最大值，設(shè)此值為M即有 使f（x1）=M使g（x2）=M于是 φ（x1）= f（x1） -g（x1）=M- g（x1）≥0φ（x2）= f（x2） -g（x2）=f（x2）-M≤0若φ（x1）=0（或φ（x2）=0）則取η=x1（或取η=x2）有φ（η）=0 η∈（a，b）

    若φ（x1）>0， φ（x2）0 故F（η）=0由于f（x）在[0， π]連續(xù)，則F（x）在[0， π]可導(dǎo)，在[0， η]，[η， π]上對(duì)F（x）用羅爾定理，則 ， 使F'（ξ1）=F'（ξ2）=0，也就是f（ξ1）=f（ξ2）=0.「例4.證明題」（95年考題）

    設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g''（x）≠0 f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0 試證（1）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)g（x）≠0（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi) 至少存在一點(diǎn)ξ使（1）分析：一般象這種出題方式通常采用反證法，假設(shè)在（a，b）內(nèi)g（x）有零點(diǎn)，由已知g（a）=g（b）=0.則g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，又g''（x）存在。因此由推廣的羅爾定理，將存在ξ ，使g''（ξ）=0與g''（x）≠0矛盾。

    證明： 用反證法 假設(shè) 使g（c）=0由于g（x）在[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，因此在[a，b]上g'（x）與g（x）都連續(xù)可導(dǎo)，又g（a）=g（c）=g（b）=0.于是在[a，c]，[c，b]上對(duì)g（x）用羅爾定理。

    ， 使g'（ξ1）=0 ， g'（ξ2）=0又在[ξ1 ，ξ2]上對(duì)g'（x）用羅爾定理使g''（ξ）=0 與 g"（x）≠0矛盾，故在（a，b）內(nèi)g（x）≠0（2）分析：證明 即證f（ξ）g"（ξ）- f"（ξ）g（ξ）=0也就是f（x）g"（x）- f"（x）g（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)。

    由已知只知道二階導(dǎo)存在，并沒(méi)有說(shuō)二階導(dǎo)連續(xù)，因此無(wú)法用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，我們考慮找它的原函數(shù)，把函數(shù)的零點(diǎn)存在問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為它的原函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的問(wèn)題，現(xiàn)在的問(wèn)題是找f（x）g"（x）- f"（x）g （x）的原函數(shù)，如果觀察力強(qiáng)，我們可直接找到。

    f（x）g"（x）- f"（x）g （x）=[ f（x）g' （x）- f'（x）g （x）]'如果觀察不出來(lái)，我們可通過(guò)積分求出原函數(shù)。

    也就是：證明： f（x）g"（x）- f"（x）g（x）有原函數(shù)φ（x）=f（x）g'（x）- f'（x）g（x）

    由已知φ（x）在[a，b]可導(dǎo)，且φ（a）=φ（b）=0由羅爾定理。 ，使φ'（ξ）=0即f（ξ）g"（ξ）- f"（ξ）g（ξ）=0由（1）知g（ξ）≠0，于是有

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