2010年GCT跟我學專欄—數學（3）

　1．由A地至B地，甲需走14小時，乙需走12小時，甲、乙同時從A地出發，5小時后乙因故要與甲見面，乙此時返行會甲約需走（    ）小時。

　　A．13/5小時    B．5/13小時    C．1/2小時    D．3/5小時

　　【解析】根據題意，甲、乙同時從A地出發，5小時后二人之間的距離是（1/12-1/14）×5=（7/84-6/84）×5=5/84

　　乙此時返行會甲所需時間是甲乙兩人走完5/84這段距離所需要的時間，即（5/84）÷（1/14+1/12）=5/13

　　故本題正確答案為B項。

　　2．設a、b、c均為正數，若c/（a+b）＜a/（b+c）＜b/（c+a），則（    ）。

　　A．     B． C．     D．

　　【解析】取值檢驗，考察由1，2，3三個數形成的分數：1/（2+3），2/（1+3），3/（1+2），1＜2＜3對應1/（2+3）＜2/（1+3）＜3/（1+2），一般地，當c＜a＜b時，c/（a+b）＜a/（b+c）＜b/（c+a）（因分子依次增大，而分母依次減小，故相應分數依次增大）。

　　3．在圓心為O，半徑為15的圓內有一點P，若OP=12，則在過P點的弦中，長度為整數的有（    ）。

　　A．14條    B．24條    C．12條    D．11條

　　【解析】直徑是長度最大的弦，長為30；過P點最短的弦是與過P點的直徑垂直的弦，注意到從最短的弦到最長的弦可連續變動。若從一側變動則過P點的長度為整數的弦有30-17=13條；若從另一側變動，也有13條，因最長的弦和最短的弦重復了一次，去掉重復的，共有2×13-2=24條。故本提正確答案為B選項。

　　4．直線l與直線2x-y=1關于直線x+y=0對稱，則直線l的方程是（    ）。

　　A．x-2y=1    B．x+2y=1    C．2x+y=1    D．2x-y=1

　　【解析】因直線2x-y=1過點（0，-1）和（1/2，0），而這兩點關于直線x+y=0的對稱點分別是（1，0）和（0，1/2），于是直線l經過（1，0）和（0，-1/2）兩點，其方程為y=1/2（x-1），即x-2y=1。

　　5．△ABC中，AB=5，AC=3，∠A= ，該三角形BC邊上的中線長是x的函數y=f（x），則當在（0，π）中變化時，函數f（x）取值的范圍是（    ）。

　　A．（0，5）    B．（1，4）    C．（3，4）   D．（2，5）

　　【解析】（5-3）/2＜f（x）＜（5+3）/2，故f（x）的變化范圍是（1，4）。

　　6.如下不等式成立的是（    ）。

　　A．在（-3，0）區間上，㏑3-x＜ln（3+x）

　　B．在（-3，0）區間上，㏑3-x＞ln（3+x）

　　C．在[0，∞]區間上，㏑3-x＞ln（3+x）

　　D．在[0，∞]區間上，㏑3-x＜ln（3+x）

　　【解析】令f（x）=ln（3+x）+x-ln3，則f’（x）=1÷（3+x）+1=（4+x）÷（3+x）＞0（x＞-3），又f（0）=0，故在（-3，0）區間上，f（x）嚴格單調遞增，從而f（x）＜f（0）。即ln3-x>ln（3+x），-3＜x＜0。

　　7．已知0＜x＜1，則在下列各數中，最大的是（    ）。

　　A．x    B．x2    C．1/x    D．1/x1/2

　　【解析】采用特殊值法，令x=1/4，則A為1/4，B為1/16，C為4，D為2。顯然，C最大。

　　8．某種產品分為一等品、二等品和不合格品三種，若在一批產品中，一等品與二等品之比為5:3，二等品和不合格品之比為4:1，則這批產品的合格率為（    ）。

　　A．90%    B．91.4%    C．93.1%    D．94%

　　【解析】假設一等品有5個。那么二等品就是3個，由于二等品和不合格品之比為4:1，所以不合格品有3/4個。因此這批產品的合格率為（5+3）÷（5+3+3/4）=32/35︽91.4%。