高考數學第二輪備考典型題型的解法
高考數學二輪復習是整理與提升的過程,下面是精品學習網整理的數學第二輪備考典型題型的解法,希望考生可以全部掌握。
(一)數形結合,借尸還魂
【題1】(2009.遼寧卷12題)若 滿足2x+ =5, 滿足2x+2 (x-1)=5, + =( )
(A) (B)3 (C) (D)4
【分析】本題有“數”無“形”,僅靠枯燥的數字分析或推理,試圖分別求出x1與x2,再求它們的和是不可能的..唯一的出路是“借尸還魂”,到圖中去尋找答案.
【解析】.將條件式改寫為 及 .
令 .
如圖,曲線 關于直線 對稱.設直線 分別與曲線
及直線 交于 ,則點A,B亦關于
點M對稱..由 ,故選C.
(二)調虎離山 命題轉換
【題2】(2010.四月.湖北孝感理科.14題)在正整數數列中,由1開始依次按如下規則將某些數染成紅色.先染1,再染2個偶數2、4;再染4后面最鄰近的3個連續奇數5、7、9;再染9后面最鄰近的4個連續偶數10、12、14、16;再染16后面最鄰近的5個連續奇數17、19、21、23、25.按此規則一直染下去,得到一紅色子數列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,….則在這個紅色子數列中,由1開始的第2010個數是
【分析】按題示規則,對全體正整數操作如下:
○1○23○4○56○78○9○1011○1213○1415○16○1718○1920○2122○2324○25○2627○2829○3031○3233○3435○36○3738…
如果僅就現在的排列方法,很難找出規律.于是想到:何不將那些“染紅”了的數調出來,用適當的方式重新排列呢?
【解析】在以上各數中,我們將所有打了圈的數稱為“合格數”,
并將所有“合格數”按奇,偶相間的原則列成三角形數表如圖2:立即
發現其排列規律是:
1.第n行的最后1個數字是 ;
2.前n行共有 個“合格數”數.
題目已經暗示:2010一定是“合格數”,設2010位于這張表的
第n行,那么: ,即
∵ ,故滿足(1)式的
最大值是63. 當n=63時,最后1個數是第 個,其值為 ,這是個奇數.
據此,這一行應全為奇數.由此倒推6數,則第2010個“合格數”是3969-2×6=3957.
(三)抽絲剝繭,水落石出
【題3】(2010四月.湖北黃岡等6市.10題)已知數列 滿足:
且 ,則圖3中第5行所有數的和是( )
A.62 B.64 C.32 D.34
【分析】求和的前提條件是找出這個遞推數列的通項公式.可是由
遞推關系找到求通項的規律,不是輕而易舉的事,需要作逐步精密的探究.
如果不作,這道題很難.
【解析】第一步:遞推關系式的右式,分子的次數高于分母的次數,
且分子為單項式,分母為多項式,不便于推理運算,因此考慮岸邊取倒數.
由
第二步,由以上結果及 ,知 是首項 且公差d=1的等差數列.這個“過渡數列”的通項公式是: .
第三步,我們發現 雖然不是等比數列,但其比值是一個簡單的一次式.這種情況適合“疊乘法”求通項:
已知 ∴這個數列的通項公式為 (n=1也適合)
于是“水落石出”,圖5中第5行所有數的和是:
故選A.
(四)瞞天過海 暗云飛渡
【題4】(武漢二月調考.15題)已知雙曲線 的左頂點為A,右焦點為F,設P為第一象限內曲線上的任意一點,若∠PFA=λ∠FAP,則λ的值為
【分析】無論是選擇題,還是填空題,都是無需講道理的.既如此,解題人就可以省去一切繁文縟節,“不擇手段”地去找出正確的答案.顯然,本題的答案與非零實數a的取值范圍無關,我們就可以挑選一個最便于計算的特殊位置解之.
【解析】如圖4,取圖形的特殊位置,使PF⊥AF.
由條件知有A(-a,0),F(2a,0).在雙曲線方程中令x=2a,有:
.得P(2a,3a).
在直角三角形AFP中, ∴∠PAF=45°,而
∠PFA=90°=2∠PAF.∴λ=2.
【說明】(1)原題沒有對點P在第一象限曲線上的位置
有所限制,這意味著λ的取值與點P的具體位置無關,也就是
λ是一個常數.這就是本題可以取特殊位值的根本原因.
(2)本題源于如下軌跡題:已知定點A(-a,0),F(2a,0).
一動點p(x,y)滿足∠PFA=2∠PAF,求點P的軌跡.
【解析】如圖4——2,設∠PAF=α,則∠PFA=2α.
.由正切的二倍角公式:
所求軌跡為雙曲線的右支(不含右頂點).
(五)他山之石 可以攻玉
【題5】(2010.武漢二月調考.10題). 過定點P(3,1)的直線 交x軸正半軸于A, 交y軸正半軸于B,O為坐標原點,則△OAB周長的最小值為( )
A.8 B.10 C.12 D.
【分析1】本題是名副其實的“不小的小題”,不能用特殊值法解決,從形式上看,由于題中有坐標系為背景,是一道解析法求最值的問題.但是若真用解析幾何的方法去做,卻何其難也.假如思考方向不限于解析法,例如用三角法去做,卻是“山窮水復疑無路,柳暗花明又一村”
【解析1】如圖1,作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N,則ON=2,ON=1.
設∠OAB=∠NPB=α,則NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα.
于是△OAB的周長
于是 ,故選B.
【說明】進一步研究:當且僅當 ,即 時等式成立.此時 .于是 ,滿足OA+AB+OB=10.
【分析2】在華中師大數學通訊網站上,一位朋友利用幾何思想給出了本題的絕妙解法,現介紹如下:
【解析2】首先證明:直角三角形的周長等于其斜邊上旁切圓的直徑.
如圖2,設直角△OAB斜邊上旁切圓的圓心為Q(a,a)
作QH⊥AB于H, QM⊥x軸于M,QN⊥y軸于N那么QM=QN=QH=a.由△QAM≌△QAP知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.
連PQ,則 .令 即
(舍),或 .于是所求△OAB的最小值為L=2a=10.
本題還可以用導數法求解,這里從略.
(六)避實擊虛 反客為主
【題6】(2007.北京海淀區高三數學期中試題8):已知函數
.若實數 使得 有實根,則 的最小值為( )
(A) (B) (C)1 (D)2
【分析題目給定的是關于變量x的分式方程,就提論題地去做,無異于打一場耗時費力的攻堅戰,希望渺茫.但若將方程中的輔助變量a,b“反客為主”,則在我們面前很快展現出一方可以自由馳騁的新天地.
【解解析】將 改寫為: .
令
在直角坐標系aOb中,設 為直線(1)上一點,則 .
又設原點到直線(1)的距離為 ,那么
再令 上增,故
.也就是 的最小值為 ,選(A)
(七)擒賊擒王 解題尋根
【題7】(2005.湖北卷.6題):在 這四個函數中,
當 恒成立的函數的個數是( )
A,0 B,1 C,2 D,3
【分析】雖然是一道小題,可就是這一道不起眼的小題,那一屆卻難倒了一大批考生.即使是考后,有些教師為了解這道題也費了九牛二虎之力.為什么因為題中的四個函數,如果逐一探究,哪都不是省油的燈.為此人們不得不反思:擒賊擒王,解題尋根.這道題的根究竟在哪里呢?
原來除直線函數外,無論什么函數的圖像都是曲線,而曲線只有“上凸”和“下凹”兩種簡單形式,這就是本題的“根”.
【解析】解本題應先掌握凸,凹函數的性質,
如圖6—1,曲線 在弦AB的上方,我們
稱它是上凸的函 數,在曲線上任取兩點
A,B,作
有
交 于C,AB于M,
那么
,如圖 6—2,曲線 在弦AB的下方,我們稱它是下凹的函 數,同理,由 ,又說明下凹函數有性質:
以上結論與曲線所在象限無關,這是因為曲線經過平移后,不影響它們的數量關系.
題中的四個函數, 所以在(0,1)內,式子 不是恒成立。又 是下凹的,只有 是上凸的,這就是說,在(0,1)內,使式子
恒成立的函數只有一個。∴選B。(參看圖7,1—4)
。
后記:無獨有偶,今年的北京卷也有類似的試題:對于函數 ,有如下結論:① ② ③ ④
當 時,上述結論中正確結論的序號是本題的正確答案是②③,它與湖北卷第6題有異曲同工之妙. ,
(八)惜墨如金 小題小作
【題8】(2005.全國2卷.12題)將半徑都為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里,這個正四
面體的高的最小值為( )
A B C D
【說明】對于這一題,筆者從某參考資料上看到的答案十分繁雜,原文如下:
【解析】正四面體的高最小時,即四個小鋼球與正四面體的各個面相切。首先求出一個小球的球心O1到
另三個小球球心所在平面O2O3O4的距離(如圖7--1)。
O1O2=O2O3=O3O4=O4O1=2 O2E= O2O= ∴OO1=
然后再求出最上面的小球的球心O1到正四面體的頂點A的距離AO1,(如圖7--2)
設AB=x 則BO,= ∴O’A= ∴O1A= -1=O1B
∵AO,⊥O,B ∴O1B2=O,O12+O,B2 ∴( -1)2=12+
∵ - +1=1+ ∴ - =0 ∵x≠O ∴x=
∴O,A= × =4 ∴O1A=3
由題意可知三個球面到正四面體底面的距離為1 ,∴正四面體的高
的最小值為 3+1+ =4+
以上是正文。原文還有點評,這里從略。
就本題而言,以上的解法確實太繁了.在高考的有限時間里,花這么
大的代價是不值的.以下提出兩種簡略些的方法.
【解1】為求正四面體的高的最小值,只須解決三個問題:
其一,這4個鋼球兩兩外切,其球心也連成一個正四面體,因為其棱長為2,所以它的高為2• = ;
其二,這個球心四面體與原正四面體的兩底面距離為1(等于球的半徑);
其三,這個球心四面體與原正四面體的兩頂距離為3(等于球的半徑的3倍),因此 ,這個正四面體的高
的最小值為 ,∴選C。
【解2】我們不妨稱原四面體為 “容器正四面體”,四個球心連成的四面體為“球心正四面體”.
“球心正四面體”與“容器正四面體”是同“中心”的相似體,相似中心就是這個共同的“中心”.
既然這個公共的中心以1∶3的比例分割了球心正四面體的高線,那么,還是這個公共的中心應以1∶3
的比例分割容器正四面體的高線.既然球心正四面體的高線向下面的底面延長了1個小球半徑,那么,對應
的高線應該向上面的頂點延長3個小球半徑.于是容器正四面體的高線比球心正四面體的高線共延長出4個
小球半徑.因而?C 是最合理的答案.
以上就是高中階段一些2017高考數學第二輪備考典型題型的解法,幫助考生進行查缺補漏。
(責任編輯:郭峰)
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