高考數學第二輪備考典型題型的解法
高考數學二輪復習是整理與提升的過程，下面是精品學習網整理的數學第二輪備考典型題型的解法，希望考生可以全部掌握。
(一)數形結合，借尸還魂
【題1】(2009.遼寧卷12題)若 滿足2x+ =5, 滿足2x+2 (x-1)=5, + =( )
(A) (B)3 (C) (D)4
【分析】本題有“數”無“形”，僅靠枯燥的數字分析或推理，試圖分別求出x1與x2，再求它們的和是不可能的..唯一的出路是“借尸還魂”，到圖中去尋找答案.
【解析】.將條件式改寫為 及 .
令 .
如圖，曲線 關于直線 對稱.設直線 分別與曲線
及直線 交于 ，則點A,B亦關于
點M對稱..由 ，故選C.
(二)調虎離山 命題轉換
【題2】(2010.四月.湖北孝感理科.14題)在正整數數列中，由1開始依次按如下規則將某些數染成紅色.先染1，再染2個偶數2、4;再染4后面最鄰近的3個連續奇數5、7、9;再染9后面最鄰近的4個連續偶數10、12、14、16;再染16后面最鄰近的5個連續奇數17、19、21、23、25.按此規則一直染下去，得到一紅色子數列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，….則在這個紅色子數列中，由1開始的第2010個數是
【分析】按題示規則,對全體正整數操作如下：
○1○23○4○56○78○9○1011○1213○1415○16○1718○1920○2122○2324○25○2627○2829○3031○3233○3435○36○3738…
如果僅就現在的排列方法,很難找出規律.于是想到:何不將那些“染紅”了的數調出來,用適當的方式重新排列呢?
【解析】在以上各數中，我們將所有打了圈的數稱為“合格數”，
并將所有“合格數”按奇,偶相間的原則列成三角形數表如圖2：立即
發現其排列規律是：
1.第n行的最后1個數字是 ;
2.前n行共有 個“合格數”數.
題目已經暗示：2010一定是“合格數”,設2010位于這張表的
第n行,那么： ,即
∵ ,故滿足(1)式的
最大值是63. 當n=63時,最后1個數是第 個,其值為 ,這是個奇數.
據此,這一行應全為奇數.由此倒推6數,則第2010個“合格數”是3969-2×6=3957.
(三)抽絲剝繭,水落石出
【題3】(2010四月.湖北黃岡等6市.10題)已知數列 滿足：
且 ,則圖3中第5行所有數的和是( )
A.62 B.64 C.32 D.34
【分析】求和的前提條件是找出這個遞推數列的通項公式.可是由
遞推關系找到求通項的規律,不是輕而易舉的事,需要作逐步精密的探究.
如果不作,這道題很難.
【解析】第一步：遞推關系式的右式,分子的次數高于分母的次數,
且分子為單項式,分母為多項式,不便于推理運算,因此考慮岸邊取倒數.
由
第二步,由以上結果及 ,知 是首項 且公差d=1的等差數列.這個“過渡數列”的通項公式是： .
第三步,我們發現 雖然不是等比數列,但其比值是一個簡單的一次式.這種情況適合“疊乘法”求通項：
已知 ∴這個數列的通項公式為 (n=1也適合)
于是“水落石出”,圖5中第5行所有數的和是：
故選A.
(四)瞞天過海 暗云飛渡
【題4】(武漢二月調考.15題)已知雙曲線 的左頂點為A，右焦點為F,設P為第一象限內曲線上的任意一點，若∠PFA=λ∠FAP,則λ的值為
【分析】無論是選擇題,還是填空題,都是無需講道理的.既如此,解題人就可以省去一切繁文縟節,“不擇手段”地去找出正確的答案.顯然,本題的答案與非零實數a的取值范圍無關,我們就可以挑選一個最便于計算的特殊位置解之.
【解析】如圖4，取圖形的特殊位置,使PF⊥AF.
由條件知有A(-a,0),F(2a,0).在雙曲線方程中令x=2a,有：
.得P(2a,3a).
在直角三角形AFP中， ∴∠PAF=45°，而
∠PFA=90°=2∠PAF.∴λ=2.
【說明】(1)原題沒有對點P在第一象限曲線上的位置
有所限制，這意味著λ的取值與點P的具體位置無關，也就是
λ是一個常數.這就是本題可以取特殊位值的根本原因.
(2)本題源于如下軌跡題：已知定點A(-a,0),F(2a,0).
一動點p(x,y)滿足∠PFA=2∠PAF,求點P的軌跡.
【解析】如圖4——2，設∠PAF=α，則∠PFA=2α.
.由正切的二倍角公式：
所求軌跡為雙曲線的右支(不含右頂點).
(五)他山之石 可以攻玉
【題5】(2010.武漢二月調考.10題). 過定點P(3,1)的直線 交x軸正半軸于A, 交y軸正半軸于B,O為坐標原點，則△OAB周長的最小值為( )
A.8 B.10 C.12 D.
【分析1】本題是名副其實的“不小的小題”，不能用特殊值法解決，從形式上看，由于題中有坐標系為背景，是一道解析法求最值的問題.但是若真用解析幾何的方法去做，卻何其難也.假如思考方向不限于解析法，例如用三角法去做，卻是“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村”
【解析1】如圖1，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，則ON=2,ON=1.
設∠OAB=∠NPB=α，則NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα.
于是△OAB的周長
于是 ，故選B.
【說明】進一步研究：當且僅當 ，即 時等式成立.此時 .于是 ，滿足OA+AB+OB=10.
【分析2】在華中師大數學通訊網站上，一位朋友利用幾何思想給出了本題的絕妙解法，現介紹如下：
【解析2】首先證明：直角三角形的周長等于其斜邊上旁切圓的直徑.
如圖2，設直角△OAB斜邊上旁切圓的圓心為Q(a,a)
作QH⊥AB于H, QM⊥x軸于M，QN⊥y軸于N那么QM=QN=QH=a.由△QAM≌△QAP知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.
連PQ,則 .令 即
(舍)，或 .于是所求△OAB的最小值為L=2a=10.
本題還可以用導數法求解,這里從略.
(六)避實擊虛 反客為主
【題6】(2007.北京海淀區高三數學期中試題8)：已知函數
.若實數 使得 有實根，則 的最小值為( )
(A) (B) (C)1 (D)2
【分析題目給定的是關于變量x的分式方程,就提論題地去做,無異于打一場耗時費力的攻堅戰,希望渺茫.但若將方程中的輔助變量a,b“反客為主”,則在我們面前很快展現出一方可以自由馳騁的新天地.
【解解析】將 改寫為： .
令
在直角坐標系aOb中，設 為直線(1)上一點，則 .
又設原點到直線(1)的距離為 ，那么
再令 上增，故
.也就是 的最小值為 ，選(A)
(七)擒賊擒王 解題尋根
【題7】(2005.湖北卷.6題)：在 這四個函數中，
當 恒成立的函數的個數是( )
A，0 B，1 C，2 D，3
【分析】雖然是一道小題，可就是這一道不起眼的小題，那一屆卻難倒了一大批考生.即使是考后，有些教師為了解這道題也費了九牛二虎之力.為什么因為題中的四個函數，如果逐一探究，哪都不是省油的燈.為此人們不得不反思：擒賊擒王，解題尋根.這道題的根究竟在哪里呢?
原來除直線函數外，無論什么函數的圖像都是曲線，而曲線只有“上凸”和“下凹”兩種簡單形式，這就是本題的“根”.
【解析】解本題應先掌握凸，凹函數的性質，
如圖6—1，曲線 在弦AB的上方，我們
稱它是上凸的函 數，在曲線上任取兩點
A，B，作
有
交 于C，AB于M，
那么
，如圖 6—2，曲線 在弦AB的下方，我們稱它是下凹的函 數，同理，由 ，又說明下凹函數有性質：
以上結論與曲線所在象限無關，這是因為曲線經過平移后，不影響它們的數量關系.
題中的四個函數， 所以在(0，1)內，式子 不是恒成立。又 是下凹的，只有 是上凸的，這就是說，在(0，1)內，使式子
恒成立的函數只有一個。∴選B。(參看圖7，1—4)
。
后記：無獨有偶，今年的北京卷也有類似的試題：對于函數 ，有如下結論：① ② ③ ④
當 時，上述結論中正確結論的序號是本題的正確答案是②③，它與湖北卷第6題有異曲同工之妙. ，
(八)惜墨如金 小題小作
【題8】(2005.全國2卷.12題)將半徑都為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四
面體的高的最小值為( )
A B C D
【說明】對于這一題，筆者從某參考資料上看到的答案十分繁雜，原文如下：
【解析】正四面體的高最小時，即四個小鋼球與正四面體的各個面相切。首先求出一個小球的球心O1到
另三個小球球心所在平面O2O3O4的距離(如圖7--1)。
O1O2=O2O3=O3O4=O4O1=2 O2E= O2O= ∴OO1=
然后再求出最上面的小球的球心O1到正四面體的頂點A的距離AO1，(如圖7--2)
設AB=x 則BO，= ∴O’A= ∴O1A= -1=O1B
∵AO，⊥O，B ∴O1B2=O，O12+O，B2 ∴( -1)2=12+
∵ - +1=1+ ∴ - =0 ∵x≠O ∴x=
∴O，A= × =4 ∴O1A=3
由題意可知三個球面到正四面體底面的距離為1 ，∴正四面體的高
的最小值為 3+1+ =4+
以上是正文。原文還有點評，這里從略。
就本題而言，以上的解法確實太繁了.在高考的有限時間里，花這么
大的代價是不值的.以下提出兩種簡略些的方法.
【解1】為求正四面體的高的最小值，只須解決三個問題：
其一，這4個鋼球兩兩外切，其球心也連成一個正四面體，因為其棱長為2，所以它的高為2• = ;
其二，這個球心四面體與原正四面體的兩底面距離為1(等于球的半徑);
其三，這個球心四面體與原正四面體的兩頂距離為3(等于球的半徑的3倍)，因此 ，這個正四面體的高
的最小值為 ，∴選C。
【解2】我們不妨稱原四面體為 “容器正四面體”,四個球心連成的四面體為“球心正四面體”.
“球心正四面體”與“容器正四面體”是同“中心”的相似體，相似中心就是這個共同的“中心”.
既然這個公共的中心以1∶3的比例分割了球心正四面體的高線，那么，還是這個公共的中心應以1∶3
的比例分割容器正四面體的高線.既然球心正四面體的高線向下面的底面延長了1個小球半徑，那么，對應
的高線應該向上面的頂點延長3個小球半徑.于是容器正四面體的高線比球心正四面體的高線共延長出4個
小球半徑.因而?C 是最合理的答案.
以上就是高中階段一些2017高考數學第二輪備考典型題型的解法，幫助考生進行查缺補漏。
(責任編輯：郭峰)
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