北京航空航天大學《數學專業綜合課》2011年考研大綱

　　891數學專業綜合課考試大綱（2011版）
　　請考生注意：
　　1、數學專業綜合課試題含常微分方程、近世代數、概率論與數理統計三部分的內容。 
　　2、每部分試題滿分50分。
　　常微分方程部分的考試大綱
　　一、基本內容與要求
　　(一) 初等積分法
　　1、 熟練掌握變量可分離方程、齊次方程、一階線性方程、全微分方程等的解法.
　　2、 會應用降階法解某些高階方程。
　　3、 會建立簡單的微分方程模型。
　　(二) 線性方程和線性方程組
　　1、 掌握線性微分方程(組)的一般理論.
　　2、 掌握常系數線性微分方程(組)的解法.
　　3、 能應用線性方程(組)解的結構對方程的解做簡單定性分析.
　　4、 了解二階線性方程的冪級數解法和Laplace方法。
　　5、 會應用二階常系數線性方程分析振動現象。
　　(三) 基本定理
　　1、掌握初值問題的存在、唯一性定理和解的延拓及解關于初值的連續、可微性定理
　　2、掌握解的存在、唯一性定理及證明。
　　（四）穩定性與定性理論初步
　　1、掌握定性、穩定性與極限環等基本定義。
　　2、會畫簡單的相圖。
　　3、會分析二階常系數線性方程組的奇點并畫出相圖。
　　二、參考書目 
　　《常微分方程》東北師范大學數學教研室編（第三版） 高等教育出版社

　　近世代數部分的考試大綱
　　一、基本內容與要求
　　(一)基本概念
　　1、理解集合與映射的概念，掌握集合之間的運算，能夠在集合之間建立映射關系，并判斷兩個映射是否相同。
　　2、掌握代數運算與映射的關系，能夠建立有限集合之間的運算表，并判斷給定的運算是否滿足結合律、交換律以及兩種分配律。
　　3、掌握同態映射、同構映射和自同構的概念，理解同態與同態滿射（滿同態）的關系，并能判定映射是否是同態滿射（滿同態），掌握具有同態滿射（滿同態）的集合之間的聯系。能夠判定給定的映射和運算是否是同構關系，能建立兩個集合之間的同構映射。
　　4、理解關系和等價關系的概念，掌握等價關系和分類之間的轉換定理，和熟練判定給定的關系是否是等價關系。并熟悉剩余類的基本特性，能夠建立整數間給定的模的剩余類。
　　(二) 群論
　　1、掌握群的定義和例子，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念。充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，能熟練掌握群與階的關系，會計算群元素的階。
　　2、理解群同構、同態的定義，掌握和一個群同態的集合也成群的證明，掌握群同態的有關性質，并能證明在同態滿射下，單位元的象也是單位元，元a的逆元的象是a的象的逆元。
　　3、掌握循環群的定義和由生成元決定循環群的性質與特點，熟練掌握剩余類加群，并能證明任一循環群可以與整數加群或模為n的剩余類加群同構。以及與循環群同態的群的性質。
　　4、熟練掌握變換的符號的運用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質。掌握任何一個群都同一個變換群同構的定理的證明。掌握元素求逆等運算。
　　5、理解置換與置換群的定義與性質，掌握每一個n元置換都可以寫成若干個互相沒有共同數字的（不相連）的循環置換（輪換）的乘積的證明與運用。理解有限群與置換群的同構關系。
　　6、掌握子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關系，以及子群與子群之間的關系。
　　7、掌握陪集的定義，以及與等價關系和分類之間的關系，了解子群與陪集之間的映射關系，并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素數的群一定為循環群的證明。
　　8、 了解不變子群（正規子群）的定義，能掌握一個群的子群是不變子群（正規子群）的充分必要條件的定理，理解商群的定義，能證明一個群同它的每一個商群同態的定理，了解核的定義，掌握兩個具有同態關系的群之間子群或不變子群（正規子群）的象的性質。并能將子群或不變子群（正規子群）的性質運用到循環群、變換群等中。
　　(三) 環與域
　　1、理解交換環的定義和例子，熟悉單位元、逆元和零因子的性質并能熟練運用。掌握消去律與零因子的關系。
　　2、了解除環的定義，與能舉出域的例子，除環與加群、乘群的關系。熟悉無零因子環中的計算規則，掌握無零因子環中特征的性質
　　3、理解子環、子除環的定義，并能寫出子整環、子域的概念，了解同態、同構環之間的性質，了解多項式成環，熟悉多項式環中的未定元、次數以及系數、無關未定元的作用。
　　4、掌握理想的定義，理解理想的構成，以及零理想、單位理想和主理想的構成，能判斷一個子環是否為理想，和理想是否為主理想。了解什么是比較大理想，且和剩余類環的關聯。
　　5、 掌握沒有零因子的交換環一定是一個域的子環，了解商域的構成，并掌握同構的環的商域也同構的定理。理解主理想環的概念和引理，能證明主理想環是唯一分解環。
　　6、了解歐氏環的定義，理解歐氏環、整數環都是主理想環與唯一分解環的證明，并能證明域一定是一個歐氏環。
　　二、參考書目
　　1.《近世代數初步（第二版）》，石生明著，高等教育出版社，2006年版。