名師指導考研數一高數上冊復習

來源：育路教育網時間：2011-06-10 15:50:02

　　數學復習具有基礎性和長期性的特點，數學知識的學習是一個長期積累的過程，要遵循由淺入深的原則 , 先將知識基礎打牢 , 構建起知識體系 , 然后再去追求技巧以及方法 , 一座高樓大廈必定是建立在堅實的地基之上的，因此我們將基礎知識的復習安排在第一階段，希望大家給予足夠重視。

　　同時，有一個科學的學習計劃 , 才能更迅速有效地掌握數學知識。我們按照這個原則制定了詳盡的數學學習計劃 , 使得同學們能夠迅速的鞏固基礎知識 , 循序漸進，加快數學學習的步伐，為今后數學水平的提高打下一個堅實的基礎。在研究生考試過程中先人一步，勝人一籌。

　　一、數學一試卷結構

　　此試卷結構參考 09 年考研大綱

種類

內容比例

題型比例

數學一

高等數學約 56%

線性代數約 22%

概率論與數理統計約 22%

填空題與選擇題約 37%
解答題（包括證明題）約 63%

　　二、數學復習全年規劃

　　第一階段夯實基礎，全面復習

　　主要目標：基本教材階段。吃透考研大綱的要求，做到準確定位，事無巨細地對大綱涉及到的知識點進行地毯式的復習，夯實基礎，訓練數學思維，掌握一些基本題型的解題思路和技巧，為下一個階段的題型突破做好準備。

　　第二階段熟悉題型，前后貫通

　　主要目標：復習全書階段。大量習題訓練，熟悉考研題型，加強知識點的前后聯系，分清重難點，讓復習周期盡量縮短，把握整體的知識體系，熟練掌握定理公式和解題技巧。

　　第三階段查缺補漏，模擬訓練

　　主要目標：套題、模擬訓練題階段。練習答題規范，保持卷面整潔，增加信心，練習掌握考試時間的分配，增強臨場應變的能力，要對自己前兩個階段復習中出現含糊不清，掌握不牢的地方重點加強。

　　第四階段強化記憶，保持狀態

　　主要目標：查漏補缺，回歸教材。強化記憶，調整心態，保持狀態，積極應考。

　　三、教材的選擇

　　《高等數學》同濟版：講解比較細致，例題難度適中，涉及內容廣泛，是現在高校中采用比較廣泛的教材，配套的輔導教材也很多。

　　《線性代數》清華版：講解詳實，細致深入，適合時間充裕的同學（推薦）。

　　《線性代數》同濟版：輕薄短小，簡明易懂，適合基礎不好的同學。

　　《概率論與數理統計》浙大版：課后習題中基本的題型都有覆蓋。

　　四、學習方法解讀

　　（ 1 ）強調學習而不是復習

　　對于大部分同學而言，由于高等數學學習的時間比較早，而且原來學習所針對的難度并不是很大，又加上遺忘，現在數學知識恐怕已經所剩無幾了，所以，這一遍強調學習，要拿出重新學習的勁頭親自動手去做，去思考。

　　（ 2 ）復習順序的選擇問題

　　我們建議先高等數學再線性代數再概率論與數理統計。高等數學是線性代數和概率論與數理統計的基礎，一定要先學習。我們并不主張三門課齊頭并進，畢竟三門課有所區別，要學一門就先學精了再繼續推進，做成 “ 夾生飯 ” 會讓你有種騎虎難下的感覺，到時你反而會耗費更多的時間去收拾爛攤子。同學們也可根據自己的特殊情況調整復習順序。

　　（ 3 ）注意基本概念、基本方法和基本定理的復習掌握

　　結合考研輔導書和大綱，先吃透基本概念、基本方法和基本定理，只有對基本概念深入理解，對基本定理和公式牢牢記住，才能找到解題的突破口和切入點。分析表明，考生失分的一個重要原因就是對基本概念、基本定理理解不準確，基本解題方法沒有掌握。因此，首輪復習必須在掌握和理解數學基本概念、基本定理、重要的數學原理、重要的數學結論等數學基本要素上下足工夫，如果這個基礎打不牢，其他一切都是空中樓閣。

　　（ 4 ）加強練習，重視總結、歸納解題思路、方法和技巧

　　數學考試的所有任務就是解題，而基本概念、公式、結論等也只有在反復練習中才能真正理解和鞏固。試題千變萬化，但其知識結構卻基本相同，題型也相對固定，一般存在相應的解題規律。通過大量的訓練可以切實提高數學的解題能力，做到面對任何試題都能有條不紊地分析和計算。

　　(5) 不要依賴答案

　　學習的過程中一定要力求全部理解和掌握知識點，做題的過程中先不要看答案，如果題目確實做不出來，可以先看答案，看明白之后再拋棄答案自己把題目獨立地做一遍。不要以為看明白了就會了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。

　　(6 ）強調積極主動地親自參與，并整理出筆記

　　注意一定要在學習過程中寫出自己的感受，可以在書上以題注的形式或者就是做筆記，盡量深挖例題內涵，這一點很重要，并且要貫徹前三輪的復習，如果比較后一輪復習我們有了自己整理的筆記，就會很輕松。有同學說學習線性代數比較好的辦法就是親自推導，這話很有道理，事實上如果我們學習什么知識都采取這種態度的話，那肯定都會學得非常好。

　　五、復習進度表

　　每天至少應該花 2.5 － 3.5 個小時左右來復習數學，這樣才能保證在基礎階段把整個數學的基礎知識復習完。其中用 1.5 － 2 個小時左右的時間理解掌握概念、定義等，用 1 － 1.5 小時左右來做習題鞏固。對于數學基礎較薄弱的同學建議每天再加一個小時的復習時間用來做習題并總結。

　　具體每章復習所用的時間我們在每章題目旁邊給出了一個復習時間限定期限，如果超出這個時間，或者少于這個時間比較好要和你的主管顧問講明原因，由主管顧問根據你學習的情況來調整復習的時間與內容。

　　注意 : 本計劃對應習題涵蓋在以下教材中 :

　　《高等數學》第五版同濟大學應用數學系主編高等教育出版社

　　《線性代數》第二版居余馬編著清華大學出版社

　　《概率論與數理統計》第三版浙江大學編著高等教育出版社

　　復習計劃使用說明：

　　(1) 學習計劃里有日期、學習時間，日期是對本章知識內容的限定時間，學習時間是針對復習知識點在大綱中的要求而建議應該使用的學習時間，同學們在學習的時候一定要兩者同時兼顧，平時如果學習時間不夠，可利用周末的時間做調整。

　　(2) 計劃里明確了每章該看的知識點、該做的習題，后面備有大綱要求，學員要根據大綱要求合理學習知識點。

　　(3) 每章復習結束后都必須做單元測試題，單元測試題是準確把握學員是否按照大綱要求掌握了本章內容。學員在做復習完每章內容后，跟主管顧問要本章測試題。測試題做完后一定要把成績反饋給你的主管顧問，以便主管顧問和教研組老師根據你的復習情況及時調整你的學習方法與內容。

　　(4) 同學們在復習的時候一定要和你周圍的同學、老師多交流學習心得。只有你總結出來的方法才是比較適合你的方法。

　　(5) 同學們在復習的過程中肯定要遇到一些疑難問題、做錯的題目，一定要在第一時間把他整理到你的筆記本里，方便的時候可以答疑。

高等數學

第一章函數與極限 (7天)

微積分中研究的對象是函數。函數概念的實質是變量之間確定的對應關系。極限是微積分的理論基礎，研究函數實質上是研究各種類型極限。無窮小就是極限為零的變量，極限方法的重要部分是無窮小分析，或說無窮小階的估計與分析。我們研究的對象是連續函數或除若干點外是連續的函數。

日期	學習時間	復習知識點與對應習題	大綱要求
第一周	2.5 － 3.5 小時	函數的概念，常見的函數（有界函數、奇函數與偶函數、單調函數、周期函數）、復合函數、反函數、初等函數具體概念和形式 . 習題 1 － 1 ： 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 9 ， 13 ， 15 ， 18	1 ．理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題中的函數關系 . 2 ．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性． 3 ．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念． 4 ．掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念 . 5 ．理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及函數極限存在與左、右極限之間的關系． 6 ．掌握極限的性質及四則運算法則 . 7 ．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法． 8 ．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限． 9 ．理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型． 10 ．了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、比較大值和比較小值定理、介值定理），并會應用這些性質．
	2.5 － 3.5 小時	數列定義，數列極限的性質 ( 唯一性、有界性、保號性 ) P26( 例 1, 例 2)P27( 例 3) 習題 1 － 2 ： 1 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6
	2.5 － 3.5 小時	函數極限的基本性質（不等式性質、極限的保號性、極限的唯一性、函數極限的函數局部有界性 , 函數極限與數列極限的關系等） P33( 例 4, 例 5)P35( 例 7) 習題 1 － 3 ： 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 7 ， 8
	2.5 － 3.5 小時	無窮小與無窮大的定義，它們之間的關系，以及與極限的關系習題 1 － 4 ： 1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7
	2.5 － 3.5 小時	極限的運算法則 (6 個定理以及一些推論 )P46( 例 3, 例 4),P47( 例 6), 習題 1 － 5 ： 1 ， 2 ， 3
	2.5 － 3.5 小時	兩個重要極限（要牢記在心，要注意極限成立的條件，不要混淆，應熟悉等價表達式） , 函數極限的存在問題（夾逼定理、單調有界數列必有極限），利用函數極限求數列極限，利用夾逼法則求極限，求遞歸數列的極限 P51( 例 1) 習題 1 － 6 ： 1 ， 2 ， 4
	2.5 － 3.5 小時	無窮小階的概念（同階無窮小、等價無窮小、高階無窮小、 k 階無窮小），重要的等價無窮小（尤其重要，一定要爛熟于心）以及它們的重要性質和確定方法 P57( 例 1)P58( 例 5) 習題 1 － 7 ： 1 ， 2 ， 3 ， 4
	2.5 － 3.5 小時	函數的連續性，間斷點的定義與分類（第一類間斷點與第二類間斷點），判斷函數的連續性（連續性的四則運算法則，復合函數的連續性，反函數的連續性）和間斷點的類型。例 1 －例 5 習題 1 － 8 ： 2 ， 3 ， 4 ， 5
	2.5 － 3.5 小時	連續函數的運算與初等函數的連續性 ( 包括和 , 差 , 積 , 商的連續性 , 反函數與復合函數的連續性 , 初等函數的連續性 ) 例 4 －例 8 習題 1 － 9 ： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5
	2.5 － 3 小時	理解閉區間上連續函數的性質 : 有界性與比較大值比較小值定理 , 零點定理與介值定理 ( 零點定理對于證明根的存在是非常重要的一種方法 ). 例 1 －例 2 ，習題 1 － 10 ： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5
	3.5 小時	總復習題一： 1 ， 2 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， 12
	2 小時	本章測試題－檢驗自己是否對本章的復習合格 ( 合格成績為 80 分以上 ) ，如果合格繼續向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點還要針對性的對本章的內容進行復習或者到總部答疑。

第二章：導數與微分 (6 天 )

一元函數的導數是一類特殊的函數極限，在幾何上函數的導數即曲線的切線的斜率，在力學上路程函數的導數就是速度，導數有鮮明的力學意義和幾何意義以及物理意義。函數的可微性是函數增量和自變量增量之間關系的另一種表達形式。函數微分是函數增量的線性主要部分。

日期	學習時間	復習知識點與對應習題	大綱要求
第二周	2.5 － 3.5 小時	導數的定義、幾何意義、力學意義，單側與雙側可導的關系，可導與連續之間的關系（非常重要，經常會出現在選擇題中），函數的可導性，導函數 , 奇偶函數與周期函數的導數的性質，按照定義求導及其適用的情形，利用導數定義求極限 . 會求平面曲線的切線方程和法線方程 . 例 3 －例 7 習題 2 － 1 ： 6 ， 7 ， 9 ， 11 ， 14 ， 15 ， 16 ， 17	1. 理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系． 2 ．掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式．了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分． 3 ．了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數． 4 ．會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數 .
	2.5 － 3.5 小時	復合函數求導法、求初等函數的導數和多層復合函數的導數，由復合函數求導法則導出的微分法則，（冪、指數函數求導法，反函數求導法），分段函數求導法例－例 17 習題 2 － 2 ： 2 ， 3 ， 4 ， 7 ， 8 ， 9 ， 1012)
	2.5 － 3.5 小時	高階導數和 N 階導數的求法（歸納法，分解法，用萊布尼茲法則）例 1 －例 7 習題 2 － 3 ： 2 ， 3 ， 4 ， 7 ， 8 ， 9
	2.5 － 3.5 小時	由參數方程確定的函數的求導法，變限積分的求導法，隱函數的求導法例 1 －例 10 習題 2 － 4 ： 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11
	2.5 － 3.5 小時	函數微分的定義，微分運算法則，一元函數微分學的簡單應用例 1 －例 6 習題 2 － 5 ： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，
	2.5 － 3.5 小時	總復習題二： 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 9 ， 11 ， 13
	2 小時	第二章測試題檢驗自己是否對本章的復習合格 ( 合格成績為 80 分以上 ) ，如果合格繼續向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點還要針對性的對本章的內容進行復習或者到總部答疑。

第三章：微分中值定理與導數的應用（ 8 天）

連續函數是我們研究的基本對象，函數的許多其他性質都和連續性有關。在理解有關定理的基礎上可以利用導數判斷函數單調性、凹凸性和求極值、拐點，并體現在作圖上。微分學的另一個重要應用是求函數的比較大值和比較小值。

日期	學習時間	復習知識點與對應習題	大綱要求
第三周	2.5 － 3.5 小時	微分中值定理及其應用（費馬定理及其幾何意義，羅爾定理及其幾何意義，拉格郎日定理及其幾何意義、柯西定理及其幾何意義）例 1 ，習題 3 － 1 ： 1 － 15	1 ．理解并會用羅爾 (Rolle) 定理、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理和泰勒 (Taylor) 定理，了解并會用柯西 (Cauchy) 中值定理． 2 ．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法． 3 ．理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數比較大值和比較小值的求法及其簡單應用． 4 ．會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形． 5 ．了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．
	2.5 － 3.5 小時	洛比達法則及其應用例 1 －例 10 ，習題 3 － 2 ： 1 － 4
	2.5 － 3.5 小時	泰勒中值定理，麥克勞林展開式例 1 －例 3 習題 3 － 3 ： 1 － 7 ， 10
	2.5 － 3.5 小時	求函數的單調性、凹凸性區間、極值點、拐點、漸進線（選擇題及大題常考）例 1 －例 12 習題 3 － 4 ： 4 ， 5 ， 8 ， 9 ， 11 ， 12 ， 14
	2.5 － 3.5 小時	函數的極值 ,( 一個必要條件 , 兩個充分條件 ), 比較大比較小值問題 . 函數性的比較值和應用性的比較值問題，與比較值問題有關的綜合題例 1 －例 6 習題 3-5:1,4,5,6,7,10,11,14
	2.5 － 3.5 小時	簡單了解利用導數作函數圖形（一般出選擇題及判斷圖形題），對其中的漸進線和間斷點要熟練掌握，一元函數的比較值問題（三種情形）。例 1 －例 3 習題 3 － 6 ： 1 － 5
	2.5 － 3.5 小時	曲率、曲率的計算公式，與曲率相關的問題例 1 －例 3, 習題 3 － 7 ： 1 － 8
	2.5 － 3.5 小時	方程的近似解法例 1 －例 2 習題 3 － 8 ： 2 ， 3
	2.5 － 3.5 小時	總結本章知識點，總復習題三： 1 － 12 ， 19
	2 小時	第三章測試題檢驗自己是否對本章的復習合格 ( 合格成績為 80 分以上 ) ，如果合格繼續向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點，還要針對性對本章的內容進行復習或者到總部答疑。

第四章：不定積分（ 7 天）

積分學是微積分的主要部分之一。函數積分學包括不定積分和定積分兩部分。在積分的計算中，分項積分法，分段積分法，換元積分法和分部積分法是比較基本的方法。

日期	學習時間	復習知識點與對應習題	大綱要求
第四周	2.5 － 3.5 小時	原函數與不定積分的概念與基本性質（它們各自的定義，之間的關系，求不定積分與求微分或導數的關系），基本的積分公式，原函數的存在性，原函數的幾何意義和力學意義例 1 －例 16 習題 4 － 1 ： 1	1 ．理解原函數概念，理解不定積分的概念． 2 ．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分換元積分法與分部積分法． 3 ．會求有理函數、三角函數有理式及簡單無理函數的積分．
	2.5 － 3.5 小時	不定積分的換元積分法，第二類換元法例 1 －例 27
	2.5 － 3.5 小時	不定積分的計算習題 4 － 2 ： 2(1 － 20)
	2.5 － 3.5 小時	不定積分的計算習題 4 － 2 ： 2(21 － 40)
	2.5 － 3.5 小時	不定積分的分部積分法例 1 －例 10 習題 4 － 3 ： 1 － 20
	2.5 － 3.5 小時	有理函數積分法，可化為有理函數的積分，例 1 －例 8 習題 4 － 4 ： 5 － 20
	2.5 － 3.5 小時	不定積分計算，總復習題四： 1 － 20
	2.5 － 3.5 小時	不定積分計算總復習題四： 21 － 40
	2 小時	總結本章，做第四章單元測試題檢驗自己是否對本章的復習合格 ( 合格成績為 80 分以上 ) ，如果合格繼續向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點，還要針對性的對本章的內容進行復習或者到總部答疑。

第五章： 定積分 (6 天 )

日期	學習時間	復習知識點與對應習題	大綱要求
第五周	2.5 － 3.5 小時	定積分的概念與性質 ( 可積存在定理 )( 定積分的 7 個性質 ) 習題 5 － 1 ： 2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8	1 ．理解原函數概念，理解定積分的概念． 2 ．掌握定積分的基本公式，掌握定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法． 3 ．會求有理函數、三角函數有理式及簡單無理函數的積分． 4 ．理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓－萊布尼茨公式． 5 ．了解廣義反常積分的概念，會計算廣義反常積分．
	2.5 － 3.5 小時	微積分的基本公式積分上限函數及其導數牛頓－萊布尼茲公式例 1 －例 8 習題 5 － 2 ： 1 － 5
	2.5 － 3.5 小時	習題 5 － 2 ： 6 － 12
	2.5 － 3.5 小時	定積分的換元法與分布積分法例 1 －例 10 習題 5 － 3 ： 1
	2.5 － 3.5 小時	習題 5 － 3 ： 2 － 11
	2.5 － 3.5 小時	反常積分無界函數反常積分與無窮限反常積分例 1 －例 5 習題： 5 － 4 ： 1 － 3
	2.5 － 3.5 小時	反常積分的審斂法例 1 －例 8 習題 5 － 5 ： 1 － 3
	2.5 － 3.5 小時	總復習題五： 1 － 11 12 ， 13
	2 小時	總結本章，做第五章單元測試題檢驗自己是否對本章的復習合格 ( 合格成績為 80 分以上 ) ，如果合格繼續向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點，還要針對性的對本章的內容進行復習或者到總部答疑。

第六章：定積分的應用 (4 天 )

日期	學習時間	復習知識點與對應習題	大綱要求
第六周	2.5 － 3.5 小時	定積分元素法一元函數積分學的幾何應用（求平面曲線的弧長與曲率，求平面圖形的面積，求旋轉體的體積，求平行截面為已知的立體體積，求旋轉面的面積）例 1 －例 14	1. 掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心等）及函數的平均值等．
	2.5 － 3.5 小時	定積分應用的一些計算習題 6 － 2 ： 1 － 15
	2.5 － 3.5 小時	定積分的幾何應用相關計算習題 6 － 2 ： 16 － 30
	2.5 － 3.5 小時	定積分的物理應用（用定積分求引力，用定積分求液體靜壓力，用定積分求功）。綜合題目的求解。例 1 －例 5 習題 6 － 3 ： 1 － 5
	2.5 － 3.5 小時	定積分的物理應用定積分綜合題目求解習題 6 － 3 ： 6 － 12
	2.5 － 3.5 小時	總復習題六： 1 － 9
	2 小時	總結本章，做第六章單元測試題檢驗自己是否對本章的復習合格 ( 合格成績為 80 分以上 ) ，如果合格繼續向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點，還要針對性對本章的內容進行復習或者到總部答疑。