咨詢工程師現(xiàn)代工程咨詢方法概述串講6

　　因果分析法主要包括:

　　回歸分析法.

　　彈性系數(shù)分析法.

　　消費(fèi)系數(shù)法等方法。

　　回歸分析法是分析相關(guān)因素相互關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，通過(guò)建立一個(gè)或一組自變量與相關(guān)隨機(jī)變量的回歸分析模型，來(lái)預(yù)測(cè)相關(guān)隨機(jī)變量的未來(lái)值。回歸分析法按分析中自變量的個(gè)數(shù)分為一元回歸與多元回歸;按自變量與因變量的關(guān)系分為線性回歸與非線性回歸。不論是一元回歸模型還是多元回歸模型，預(yù)測(cè)模型的建立要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，否則模型不能成立。

　　彈性系數(shù)法是—種相對(duì)簡(jiǎn)單易行的定量預(yù)測(cè)方法，通過(guò)計(jì)算某兩個(gè)變量相對(duì)變化彈性關(guān)系，彈性是—個(gè)相對(duì)量，它衡量某—變量的改變所引起的另—變量的相對(duì)變化。

　　消費(fèi)系數(shù)法是按行業(yè)、部門(mén)、地區(qū)、人口、群體等對(duì)某產(chǎn)品的消費(fèi)者進(jìn)行分析，認(rèn)識(shí)和掌握消費(fèi)者與產(chǎn)品的數(shù)量關(guān)系，從而預(yù)測(cè)產(chǎn)品需求量。

　　一、一元線性回歸

　　(一)基本公式

　　如果預(yù)測(cè)對(duì)象與主要影響因素之間存在線性關(guān)系，將預(yù)測(cè)對(duì)象作為因變量y，將主要影響因素作為自變量x，即引起因變量y變化的變量，則它們之間的關(guān)系可以用一元回歸模型表示為如下形式：

　　y=a+bx+e

　　其中：a和b是揭示x和y之間關(guān)系的系數(shù)，a為回歸常數(shù)，b為回歸系數(shù)

　　e是誤差項(xiàng)或稱(chēng)回歸余項(xiàng)。

　　對(duì)于每組可以觀察到的變量x，y的數(shù)值xi，yi，滿足下面的關(guān)系：

　　yi =a+bxi+ei

　　其中ei是誤差項(xiàng)，是用a+bxi去估計(jì)因變量yi的值而產(chǎn)生的誤差。

　　在實(shí)際預(yù)測(cè)中，ei是無(wú)法預(yù)測(cè)的，回歸預(yù)測(cè)是借助a+bxi得到預(yù)測(cè)對(duì)象的估計(jì)值yi。為了確定a和b，從而揭示變量y與x之間的關(guān)系，公式可以表示為：

　　y=a+bX

　　公式y(tǒng)=a+bX是式y(tǒng)=a+bx+e的擬合曲線。可以利用普通最小二乘法原理(OLS)求出回歸系數(shù)。最小二乘法基本原則是對(duì)于確定的方程，使觀察值對(duì)估算值偏差的平方和最小。由此求得的回歸系數(shù)為：

　　b=[∑xiYi—x∑yi]/∑xi2—x∑xi

　　a=y’-bx’

　　式中：xi、yi分別是自變量x和因變量y的觀察值，x-、y-分別為x和y的平均值.

　　x-=∑xi/ n

　　y-= ∑yi/ n

　　對(duì)于每一個(gè)自變量的數(shù)值，都有擬合值：

　　yi’=a+bxi

　　yi’與實(shí)際觀察值的差，便是殘差項(xiàng)

　　ei=yi一yi’

　　(二)回歸檢驗(yàn)

　　在利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要對(duì)回歸系數(shù)、回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)，以判定預(yù)測(cè)模型的合理性和適用性。檢驗(yàn)方法有方差分析、相關(guān)檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)。 對(duì)于一元回歸，相關(guān)檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)的效果是等同的，因此，在一般情況下，通過(guò)其中一項(xiàng)檢驗(yàn)就可以了。對(duì)于多元回歸分析，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)的作用卻有很大的差異。

　　1.方差分析

　　通過(guò)推導(dǎo)，可以得出：

　　∑(yi—y-)2= ∑(yi—yi’)2+∑(yi—y-)2

　　其中：

　　∑(yi’—y-)2=TSS，稱(chēng)為偏差平方和，

　　反映了n個(gè)y值的分散程度，又稱(chēng)總變差。

　　∑(yi—yi’)2=RSS,稱(chēng)為回歸平方和，

　　反映了x對(duì)y線性影響的大小，又稱(chēng)可解釋變差。

　　∑(yi—yi’)2=ESS，稱(chēng)為殘差平方和，

　　根據(jù)回歸模型的假設(shè)條件，ESS是由殘差項(xiàng)e造成的，它反映了除x對(duì)y的線性影響之外的一切使y變化的因素，其中包括x對(duì)y的非線性影響及觀察誤差。因?yàn)樗鼰o(wú)法用x來(lái)解釋?zhuān)�故又稱(chēng)未解釋變差。

　　所以，TSS=RSS+ESS

　　其實(shí)際意義是總變差等于可解釋變差與未解釋變差之和。

　　在進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，通常先進(jìn)行方差分析，一方面可以檢驗(yàn)在計(jì)算上有無(wú)錯(cuò)誤;另一方面，也可以提供其他檢驗(yàn)所需要的基本數(shù)據(jù)。

　　定義可決系數(shù)R2，

　　R2 =RSS/TSS

　　R2 的大小表明了y的變化中可以用x來(lái)解釋的百分比，因此，R2 是評(píng)價(jià)兩個(gè)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)弱的一個(gè)指標(biāo)。可以導(dǎo)出，

　　R2 = RSS/TSS=∑(yi—yi’)2 /∑(yi—y-)2

　　=1- ESS/ TSS=1-∑(yi—y-)2 /∑(yi—y-)2

　2.相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)

　　相關(guān)系數(shù)是描述兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的密切程度的數(shù)量指標(biāo)，用R表示。

　　R在—1和1之間，

　　當(dāng)R=1時(shí)，變量x和少完全正相關(guān);

　　當(dāng)R=-1時(shí)，為完全負(fù)相關(guān);

　　當(dāng)0

　　當(dāng)-1

　　當(dāng)R=0時(shí)，變量x和y沒(méi)有線性關(guān)系。

　　所以，R的絕對(duì)值越接近1，表明其線性關(guān)系越好;

　　反之，R的絕對(duì)值越接近0，表明其線性關(guān)系越不好。

　　只有當(dāng)R的絕對(duì)值大到一定程度時(shí)，才能采用線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。在計(jì)算出R值后，可以查相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表(見(jiàn)書(shū)附表1)。

　　在自由度n—2(n為樣本個(gè)數(shù))和顯著性水平a(一般取a=0.05)下，

　　若R大于臨界值，則變量x和y之間的線性關(guān)系成立;

　　否則，兩個(gè)變量不存在線性關(guān)系。

　　3.t檢驗(yàn)

　　即回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，以判定預(yù)測(cè)模型變量x和y之間線性假設(shè)是否合理。因?yàn)橐�使用參�?shù)t值，故稱(chēng)為t檢驗(yàn)。回歸常數(shù)a是否為0的意義不大，通常只檢驗(yàn)參數(shù)b。

　　其中：Sb是參數(shù)b的標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本個(gè)數(shù)。

　　S為回歸標(biāo)準(zhǔn)差，

　　tb服從t分布，可以通過(guò)t分布表(見(jiàn)本書(shū)附表2)查得顯著性水平為a，自由度為n—2的數(shù)值t(a/2，n—2)。與之比較，若tb的絕對(duì)值大于t，表明回歸系數(shù)顯著性不為0，參數(shù)的t檢驗(yàn)通過(guò)，說(shuō)明變量x和y之間線性假設(shè)合理。若tb的絕對(duì)值小于或等于t，表明回歸系數(shù)為0的可能性較大，參數(shù)的‘檢驗(yàn)未通過(guò)，回歸系數(shù)不顯著，說(shuō)明變量x和y之間線性假設(shè)不合理。

　　4，F(xiàn)檢驗(yàn)

　　即回歸方程的顯著性檢驗(yàn)。是利用方差分析，檢驗(yàn)預(yù)測(cè)模型的總體線性關(guān)系的顯著性。

　　統(tǒng)計(jì)量F服從F分布，可以通過(guò)F分布表(見(jiàn)書(shū)附表3)，查找顯著性水平為a，自由度為n=1，n=n—2的F值Fa(1，n—2)。

　　將F與Fa(1，n—2)比較:

　　若F大于Fa(1，n—2)，則回歸方程較好地反映了變量x和y之間的線性關(guān)系，回歸效果顯著，方程的F檢驗(yàn)通過(guò)，意味著預(yù)測(cè)模型從整體上是適用的;

　　若F小于或等于Fa(1，n—2)，說(shuō)明回歸方程不能很好地反映變量x和y之間的關(guān)系，回歸效果不顯著，方程的F檢驗(yàn)未通過(guò)，預(yù)測(cè)模型不能采用。