咨詢工程師現代工程咨詢方法概述串講6

　　因果分析法主要包括:

　　回歸分析法.

　　彈性系數分析法.

　　消費系數法等方法。

　　回歸分析法是分析相關因素相互關系的一種數理統計方法，通過建立一個或一組自變量與相關隨機變量的回歸分析模型，來預測相關隨機變量的未來值。回歸分析法按分析中自變量的個數分為一元回歸與多元回歸;按自變量與因變量的關系分為線性回歸與非線性回歸。不論是一元回歸模型還是多元回歸模型，預測模型的建立要經過嚴格的統計檢驗，否則模型不能成立。

　　彈性系數法是—種相對簡單易行的定量預測方法，通過計算某兩個變量相對變化彈性關系，彈性是—個相對量，它衡量某—變量的改變所引起的另—變量的相對變化。

　　消費系數法是按行業、部門、地區、人口、群體等對某產品的消費者進行分析，認識和掌握消費者與產品的數量關系，從而預測產品需求量。

　　一、一元線性回歸

　　(一)基本公式

　　如果預測對象與主要影響因素之間存在線性關系，將預測對象作為因變量y，將主要影響因素作為自變量x，即引起因變量y變化的變量，則它們之間的關系可以用一元回歸模型表示為如下形式：

　　y=a+bx+e

　　其中：a和b是揭示x和y之間關系的系數，a為回歸常數，b為回歸系數

　　e是誤差項或稱回歸余項。

　　對于每組可以觀察到的變量x，y的數值xi，yi，滿足下面的關系：

　　yi =a+bxi+ei

　　其中ei是誤差項，是用a+bxi去估計因變量yi的值而產生的誤差。

　　在實際預測中，ei是無法預測的，回歸預測是借助a+bxi得到預測對象的估計值yi。為了確定a和b，從而揭示變量y與x之間的關系，公式可以表示為：

　　y=a+bX

　　公式y=a+bX是式y=a+bx+e的擬合曲線。可以利用普通最小二乘法原理(OLS)求出回歸系數。最小二乘法基本原則是對于確定的方程，使觀察值對估算值偏差的平方和最小。由此求得的回歸系數為：

　　b=[∑xiYi—x∑yi]/∑xi2—x∑xi

　　a=y’-bx’

　　式中：xi、yi分別是自變量x和因變量y的觀察值，x-、y-分別為x和y的平均值.

　　x-=∑xi/ n

　　y-= ∑yi/ n

　　對于每一個自變量的數值，都有擬合值：

　　yi’=a+bxi

　　yi’與實際觀察值的差，便是殘差項

　　ei=yi一yi’

　　(二)回歸檢驗

　　在利用回歸模型進行預測時，需要對回歸系數、回歸方程進行檢驗，以判定預測模型的合理性和適用性。檢驗方法有方差分析、相關檢驗、t檢驗、F檢驗。 對于一元回歸，相關檢驗與t檢驗、F檢驗的效果是等同的，因此，在一般情況下，通過其中一項檢驗就可以了。對于多元回歸分析，t檢驗與F檢驗的作用卻有很大的差異。

　　1.方差分析

　　通過推導，可以得出：

　　∑(yi—y-)2= ∑(yi—yi’)2+∑(yi—y-)2

　　其中：

　　∑(yi’—y-)2=TSS，稱為偏差平方和，

　　反映了n個y值的分散程度，又稱總變差。

　　∑(yi—yi’)2=RSS,稱為回歸平方和，

　　反映了x對y線性影響的大小，又稱可解釋變差。

　　∑(yi—yi’)2=ESS，稱為殘差平方和，

　　根據回歸模型的假設條件，ESS是由殘差項e造成的，它反映了除x對y的線性影響之外的一切使y變化的因素，其中包括x對y的非線性影響及觀察誤差。因為它無法用x來解釋，故又稱未解釋變差。

　　所以，TSS=RSS+ESS

　　其實際意義是總變差等于可解釋變差與未解釋變差之和。

　　在進行檢驗時，通常先進行方差分析，一方面可以檢驗在計算上有無錯誤;另一方面，也可以提供其他檢驗所需要的基本數據。

　　定義可決系數R2，

　　R2 =RSS/TSS

　　R2 的大小表明了y的變化中可以用x來解釋的百分比，因此，R2 是評價兩個變量之間線性關系強弱的一個指標。可以導出，

　　R2 = RSS/TSS=∑(yi—yi’)2 /∑(yi—y-)2

　　=1- ESS/ TSS=1-∑(yi—y-)2 /∑(yi—y-)2

　2.相關系數檢驗

　　相關系數是描述兩個變量之間的線性相關關系的密切程度的數量指標，用R表示。

　　R在—1和1之間，

　　當R=1時，變量x和少完全正相關;

　　當R=-1時，為完全負相關;

　　當0

　　當-1

　　當R=0時，變量x和y沒有線性關系。

　　所以，R的絕對值越接近1，表明其線性關系越好;

　　反之，R的絕對值越接近0，表明其線性關系越不好。

　　只有當R的絕對值大到一定程度時，才能采用線性回歸模型進行預測。在計算出R值后，可以查相關系數檢驗表(見書附表1)。

　　在自由度n—2(n為樣本個數)和顯著性水平a(一般取a=0.05)下，

　　若R大于臨界值，則變量x和y之間的線性關系成立;

　　否則，兩個變量不存在線性關系。

　　3.t檢驗

　　即回歸系數的顯著性檢驗，以判定預測模型變量x和y之間線性假設是否合理。因為要使用參數t值，故稱為t檢驗。回歸常數a是否為0的意義不大，通常只檢驗參數b。

　　其中：Sb是參數b的標準差，n為樣本個數。

　　S為回歸標準差，

　　tb服從t分布，可以通過t分布表(見本書附表2)查得顯著性水平為a，自由度為n—2的數值t(a/2，n—2)。與之比較，若tb的絕對值大于t，表明回歸系數顯著性不為0，參數的t檢驗通過，說明變量x和y之間線性假設合理。若tb的絕對值小于或等于t，表明回歸系數為0的可能性較大，參數的‘檢驗未通過，回歸系數不顯著，說明變量x和y之間線性假設不合理。

　　4，F檢驗

　　即回歸方程的顯著性檢驗。是利用方差分析，檢驗預測模型的總體線性關系的顯著性。

　　統計量F服從F分布，可以通過F分布表(見書附表3)，查找顯著性水平為a，自由度為n=1，n=n—2的F值Fa(1，n—2)。

　　將F與Fa(1，n—2)比較:

　　若F大于Fa(1，n—2)，則回歸方程較好地反映了變量x和y之間的線性關系，回歸效果顯著，方程的F檢驗通過，意味著預測模型從整體上是適用的;

　　若F小于或等于Fa(1，n—2)，說明回歸方程不能很好地反映變量x和y之間的關系，回歸效果不顯著，方程的F檢驗未通過，預測模型不能采用。