MBA數學并沒有那么可怕

    MBA數學學習大攻略

    MBA聯考中的數學是很多考生的“攔路虎”，尤其是大學時讀文科，又工作了5年以上的考生，有人甚至因為數學基礎差而打消了考MBA的念頭。其實，數學并沒有那么可怕。首先，MBA的數學可以說是研究生考試中難度最低的，比數學四簡單多了；其次，數學只要學習方法得當，是可以很快提高的。

    第一章、心理準備首先要提高自己的自信心心理因素，對學習的效果、考試的成績都有很大影響。抱著必勝的信心去做事，比起帶著懷疑、猶豫不決的態度做事，效果要好得多。既然決定報考MBA，那說明自己在某些科目上還是有優勢的。參加聯考的人，除少數人之外，基礎都差不多。雖然我沒有做過詳細調查，但知道考上北大的學生是文理各半的。2002年聯考狀元張瑞華就是文科生，她針對流傳的“得數學者得天下”的說法，提出了“得語文才得天下”的觀點，因為語文、邏輯、管理、英語都依靠對文字的閱讀理解能力，甚至數學也是這樣。所以文科生不用太擔心數學的問題。既然下了決心，就要破釜沉舟，把精力盡量用在備考上，才能考上自己滿意的學校。多想想自己曾經成功的、讓自己得意的事情，包括當年考上大學的經過和工作中取得的成就。多想想考上以后，能得到明師指點、能與四方才子交流的樂趣，以及畢業后能在滿意的職位上施展才華的美好前景。有無足夠的自信心，不僅在聯考中，而且在人生的每一個階段，都可以決定人的命運。其次要端正學習態度。學習的目的是獲得知識，無論最終能否考上，我們在備考中數學的提高，都可以使我們的數學能力遠高于普通的人，而數學能力在管理中有重要的作用。勿以善小而不為，每一點滴的提高今后都會發揮作用，因為MBA的數學都是最基礎和最重要的數學方法。至于考試成績，主要決定于自己逐漸積累的能力，也受很多臨時因素的影響。所謂“謀事在人，成事在天”，連諸葛亮也沒有必勝的把握，“臣鞠躬盡瘁，死而后已；至于成敗利鈍，非臣之明所能逆睹也。”只要自己盡到了努力，就可以放寬心了，“妹妹你大膽地往前走，往前走莫回頭”。 第三是克服畏難情緒。我們都有這樣的感覺：對自己喜歡的或擅長的科目，越學越有興趣，以至于廢寢忘食；對不喜歡的或覺得難的科目，卻一拿起書就困了，比如文科生之于數學、理科生之于英語。因為畏難，所以不學，越不學越覺得難。而往往自己覺得最難的，就是學習的投入產出比率最高的科目。克服畏難情緒，與上面說的端正態度和提高自信都有關：抱著學一點是一點的態度，相信最終都能學會。數學基礎很差的同學，一定要參加輔導班，在老師的指引下系統地補習。很多輔導班的數學都是以“零起點”為基礎的，教程的設計是使同學能從零到正常。我看過學校的承諾，這包含了學校的信心，也說明他們已經設計出對零起點學生的系統的教學方法，能使幾乎沒有數學基礎的同學最后得到平均分，要不學校的損失會很大的。要相信有很多人都站在同一起跑線上，別人能學會的，自己也能學會。而一些數學很好的人，寫作文比生孩子還難，而且語文依靠多年文化底蘊的沉淀，提高更困難，他們也是每天輾轉反側夜不能寐的。在論壇里，有很多朋友一起交流經驗，各種學習的難點都有人介紹好的方法來幫助理解。我也研究過很多“通用解法”，無論水平高低，都可以依法解決某些很難的問題，今后有時間慢慢寫出來。論壇里的其他朋友，尤其是已經考上的朋友，可以把自己的經驗都介紹給大家。我相信，對于并不是很難的MBA數學，每個人都可以學好。在備考中克服困難、超越自我的經歷，會成為人生中的一項修煉，在學習知識的同時獲得寶貴的經驗。最后是考試中的心態。養兵千日，用兵一時，最后的臨門一腳起決定作用。我的態度是，對自己不能改變的事情，想都不用去想，因為想了也沒有用，徒亂心爾。幾個月的備考，該學到什么程度，就是什么程度了；能不能考上，基本已經決定了。反而是因為擔心考不上、怕努力白費、怕不好向家人和單位交待而引起的緊張心情，可能極大地影響考試成績。考試中，能“不以物喜，不以己悲”，心中一片空靈，是最好不過的，是非成敗轉頭空，青山依舊在，幾度夕陽紅。考試的前一天，不用再復習，痛痛快快玩一天；進考場之前，多做深呼吸，使自己放松。我從日本人的書中學過幾招，比如坐在凳子上，想象自己變成了石頭，越來越重，最后手和腳都不能動了。或想象自己是一個橡皮人，腿上被扎了一個孔，氣漏光了，腿癟下去了，軟軟地貼在床上。然后胳膊、胸腹也都是一樣。這種想象能使自己徹底放松。我在2002年聯考時的經歷對大家可能也有借鑒作用。當時在考前一周不慎染上流感，參加考試時高燒近四十度。結果上來就把自己最擅長的數學考砸了，昏昏沉沉的，反應格外遲鈍，最后竟有兩道大題沒時間做了，空在那里交卷了。考完后都覺得絕望了，想放棄，后來想反正就兩天了，考完了拉倒。奇跡發生了，其余幾門越考越順，一向勉強及格的英語反而考了75分，總分達到了300分。如果說這是幸運和天意，那是老天給了我一個對任何事都滿不在乎且喜歡莫名其妙傻笑的性格。

    第二章、提高數學的方法        

    一、提高的是計算速度。我看過很多高分得主的經驗，想法都不謀而合，就是要提高計算的速度。MBA數學題量大，計算速度很重要。25道題，如果每道題比別人少花20秒，就能節約出11分鐘時間，用于攻克難題。因此計算能力不能忽視。計算分為對數字和對代數式的計算。平時有意識地訓練心算能力、掌握一些速算技巧，能使計算速度提高很多。 1、數字的計算加法和乘法是基礎。對于很多數字相加，列出豎式后先找出相加得10的數字，進位后消掉，再算其他的。對于乘法，我采用的是史豐收的速算法，比如78X56，先用兩個十位數相乘，兩個個位數相乘，得3548，再加兩個個位與十位相乘的結果：70X6+8X50=820，3548+820=4368.對于多位數乘法，如789X456，不用我們小時候習慣的算法，而是將在乘積中有相同位置的數一起算，過程如下：         789   X   456 ——     280000   700X400，萬位數       35000   700X50       32000   400X80 ，兩個千位數       4200   700X6         4000   80X50       3600   400X9   ，三個百位數         480   80X6         450   50X9     ，兩個十位數         54   9X6     ，個位數 ——     359784 這種算法的原理在于，加法比乘法容易，計算過程中不用反復進位，而是最后全部相加。常用的速算公式： 25X4=100， 25X8=200，125X4=500，125X8=1000， 7X11X13=1001，37X3=111 而127X4=125X4+2X4=508， 129X8=125X8+4X8=1032，37X27=37X3X9=111X9=999 1MX1N=（1M+N）X10+MXN，如17X18等于17+8=25，25X10=250，250+56=306 M5的平方=MX（M+1）X100+25，如65的平方等于6X7=42，42X100+25=4225 利用平方差：（A+B）X（A-B）=A^2-B^2，如29X31=30X30-1=899，37X33=35X35-4=1221 2的倍數乘以5的倍數，前者除以2，后者乘以2，然后再相乘，如 34X15=17X30=510 2、代數式的計算與多位數的乘法相似，找出相同次數的項一起計算，我一般不用列豎式，直接寫出結果。如 （4A^2+3A+6）X（5A^2-7A-3） =4X5A^4+（-7X4+3X5）A^3+（-3X4-7X3+5X6）A^2+（-3X3-6X7）A-3X6 =20A^4-13A^3-3A^2-51A-18 數字不復雜時，上式的第二步可全部用心算，從而一步寫出結果。另外，要熟練運用平方差、立方和、立方差的公式對于計算的準確性同樣要注意，弄錯加法和乘法、弄錯正負號在出錯原因中是屢見不鮮的。

    二、掌握數學基礎知識掌握基礎知識，包括深刻理解基本概念和定理、熟練運用基本數學方法。MBA數學95%以上的題都是考基礎知識。歷屆高分考生都強調對基礎知識的掌握，試列舉部分觀點：（2002數學滿分，陳茲武）對于基本概念力求理解透徹，掌握基本的解題規律和方法。概念、定義這些東西是構件數學大廈的基石，其實到最后的階段有很多人會發現很多題不會做，就是因為概念不清。更何況，如果你細心推敲往年考題，你會發現有些題只能從基本的概念定義出發才能推出正確的結果。（2000年狀元，327分，許昕）我認為MBA數學考題并不很難，把基本要領理解透，應付考試足夠了，難題怪題用不著做。做題的目的也在于掌握理解概念和熟悉考試題理，但做得太多了完全沒有必要，太浪費時間。數學還要注意一個運算問題，因為很久不用了，考試時題量和計算量又很大，就經常會出現2+3=6的問題。我知道自己并不是數學天才，所以從不跟難題計較，但是那些基本題目和中等難度的題是一定要做熟的，而且在第一階段就應該做到。由于去年數學考試方式變化，我在最后沖刺階段針對充分型判斷和選擇題型又進行了強化訓練。數學：基本概念百讀不厭，典型例題百做不厭。我在高等數學導數、微分、偏導數等幾個部分遇到幾道基本概念題目，二個月內反反復復做了二十幾遍，有時甚至以為書上的一些步驟可以略去，也能得出相同結論，后來才深入領悟到是自己概念不清楚。這樣做透之后，其他題目有一些小的花招我很快就識別出來了。不做偏題做難題，不求做多，但求做透。什么是偏題？僅就一個非基本概念一直挖下去特別深就是偏題目。比如某些N階行列式。什么是好的難題？要用多個基本概念巧妙結合才能解決的問題就是好題。比如概率題中用到了數列和微積分。對于數學我還是強調基本功，在復習數學的第一步，我選擇了看大學時期的課本，盡量的把課本上定理和概念的來龍去脈弄清楚，盡量準確和清楚的理解概念和公式，這樣你就會體會到概念的本質，即使是最難的、最復雜的題也是能夠分解成為若干個小概念的；課后的題，我也盡量做了，因為課后題和參考書上的題有點不同的是它是按你的由不知到知、由淺入深的學習進度安排的，所以在深度和難度上的連續性比較好，不象許多的參考書，題目的安排是以讀者已有一定的概念基礎為思路的，所以跳躍性較大，不利于打好基本功，尤其是對于數學基礎較薄弱的同學，從基礎開始尤為重要。希望上面的這些同學原諒我，未經允許就引用了他們的文章。看在大家都是同一學校的學員份上，不要向我追究版權問題。好東西應該由大家分享。基礎知識這么重要，那么哪些內容屬于基礎知識呢？對不起，沒有捷徑，機工版教材上講的都是基礎知識。我這里只能選幾個主題說一下。 1、集合的概念集合是數學中最重要的概念，是整個數學的基礎。我印象中，集合的定義是：集合是具有相同性質的元素的集體。這個定義屬于循環定義，因為集體就是集合。我的理解是：把一些互不相同的東西放在一起，就組成一個集合。唯一的要求是“互不相同”。集合中的元素可以是毫不相干的。元素可以是個體，也可以是一個集合，比如1，2，{1，2}就構成一個集合，集合中有三個元素，兩個是個體，一個是集合。元素可以是數對，（x，y）是一個數對，代表二維坐標系中的一個點。如果集合中的元素沒有共同的特征，要完整地描述一個集合，我們被迫列出集合中的每一個元素，如{一陣風，一匹馬，一頭牛}；如果存在相同的特征，描述就簡單多了，如{所有正整數}、{所有英國男人}、{所有四川的下過馬駒的紅色的母馬}，不用一一列舉。區間是特殊的集合，專門用來表示某些連續的實數的集合。集合在邏輯中的應用也十分廣泛，學好了集合，數學和邏輯都能提高，起到“兩個男人并排坐在石頭上”的作用。集合中元素的個數是集合的重要特征。如果兩個集合的元素能有一一對應的關系，那么這兩個集合元素的個數就是相等的。在我們平時數物品的數量時，說1，2，3，4，5，一共有5個，這時我們就是在把物品的集合與集合（1，2，3，4，5）建立一一對應的關系，正是因為物品數量與集合（1，2，3，4，5）的元素個數相等，所以我們才說物品共有5個。集合分為有限集合和無限集合，元素的個數一般是針對有限集合說的。對無限集合來說，有很多不同之處。比如{所有的正整數}與{所有的正偶數}，后者只是前者的一個子集，但兩者存在一一對應的關系，因此元素個數“相等”。而{所有整數}與{所有實數}則不可能建立一一對應的關系，因為它們的無限的級別是不同的。對兩個無限集合，我們只強調是否能一一對應，不說元素個數是否相等。兩個集合有交集和并集的關系。交集是同時在兩個集合中的所有元素的集合，例如{中國人}交{男人}={中國男人}，{韓國俊男}交{韓國美女}={河利秀}.并集是在其中任一個集合中的所有元素的集合。因為集合中的元素不能重復，所以取并集時要去掉重復了的元素，A并B的元素個數=A的元素個數+B的元素個數-A交B的元素個數。 2、函數的概念如果集合A中的每一個元素，按照某種對應關系，在集合B中都有唯一的對應元素，那么這種對應關系被稱為A到B的函數。例如Y=2X，Y=X^2都建立了{全體實數}到{全體實數}的函數關系，如果用f代表對應關系，則函數表述為：f（x）=2x， f（x）=x^2.如果A中的某些元素，不能對應B中唯一的元素，則不存在函數關系。比如{所有小偷}與{所有失主}，因為某些小偷偷過很多不同失主的東西。函數的定義域和值域。MBA數學只考慮實數。所有能使函數有意義的實數的集合，構成函數的定義域，即上面的集合A.F（X）=X^（1/2）定義域為{X/ X>=0}，F（X）=1/X定義域為{X/ X<>=0}，F（X）=LN（X）定義域為{X/ X>0}.如果函數中同時包括幾類簡單函數，則定義域是各類函數定義域的交集。定義域按照對應關系，能對應的所有實數的集合，構成函數的值域。定義域、對應關系、值域，三者構成一個函數。定義域中的每一個元素，與其在值域中對應的元素，組成一個數對，由二維坐標系中的一個點來表示。所有這樣的點形成了函數的圖象。圖象能直觀地表現函數的對應關系，大家應該熟悉冪函數、指數函數、對數函數的基本圖象。要求高的同學可以進一步掌握圖象的平移、反射、旋轉。奇函數和偶函數的定義不說了，要注意的是奇函數和偶函數的定義域必須關于原點對稱。F（X）=X，X為任意實數是奇函數，如果限定X屬于[-3，5]，那函數就不是奇函數了。反函數。如果集合A中的每一個元素，按照某種對應關系，在集合B中都有唯一的對應元素；而B中的每一個元素，在A中都有唯一的元素與之對應。則A到B的對應關系是可逆的，A到B的對應關系是原函數，B到A的對應關系是反函數。對于連續的函數來說，只有絕對增函數或絕對減函數，才存在反函數，否則A中必有兩個元素，在B中對應同一元素。對于不連續的函數則沒有上述限制。復合函數。集合A中的元素，按一種函數對應到集合B，B中的相應元素，再按另一種函數對應到集合C，最后形成集合A到集合C的對應關系，稱為復合函數。 3、數列的概念數列是一種特殊的函數，其定義域為全體或部分自然數。數列的通項公式A（N）就是一個函數，求出通項公式，等于求出了數列的任一項。數列的前N項和S（N）（N=1，2，……）構成了一個新的數列，知道S（N）的公式，通過A（1）=S（1），A（N）=S（N）-S（N-1）就能求出原數列的通項公式。 MBA數學主要考察等差數列和等比數列。有些數列不是等差數列或等比數列，但經過改造后可構造出等差數列或等比數列，如A（1）=1，A（N+1）=2A（N）+1.這個數列的每一項都加上1，就成為等比數列了，通項公式為2^N，因此原數列通項公式為：A（N）=2^N-1 其他常見的數列包括A（N）=N^3， A（N）=N！/（N-K）！，A（N）=1/[N（N-1）]等，都有相應的辦法能處理。  4、排列、組合、概率的概念排列、組合、概率都與集合密切相關。排列和組合都是求集合元素的個數，概率是求子集元素個數與全集元素個數的比值。以最常見的全排列為例，用S（A）表示集合A的元素個數。用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數，則每一個九位數都是集合A的一個元素，集合A中共有9！個元素，即S（A）=9！如果集合A可以分為若干個不相交的子集，則A的元素等于各子集元素之和。把A分成各子集，可以把復雜的問題化為若干簡單的問題分別解決，但我們要詳細分析各子集之間是否確無公共元素，否則會重復計算。集合的對應關系兩個集合之間存在對應關系（以前學的函數的概念就是集合的對應關系）。如果集合A與集合B存在一一對應的關系，則S（A）=S（B）。如果集合B中每個元素對應集合A中N個元素，則集合A的元素個數是B的N倍（嚴格的定義是把集合A分為若干個子集，各子集沒有共同元素，且每個子集元素個數為N，這時子集成為集合A的元素，而B的元素與A的子集有一一對應的關系，則S（A）=S（B）*N 例如：從1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取六個數，問能組成多少個數字不重復的六位數。集合A為數字不重復的九位數的集合，S（A）=9！集合B為數字不重復的六位數的集合。把集合A分為子集的集合，規則為前6位數相同的元素構成一個子集。顯然各子集沒有共同元素。每個子集元素的個數，等于剩余的3個數的全排列，即3！這時集合B的元素與A的子集存在一一對應關系，則 S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！組合與排列的區別在于，每一個組合中的各元素是沒有順序的。無論這些元素怎樣排列，都只當作一種組合方式。所以在計算組合數的時候，只要分步，就意味有次序。取N次，N件物品的N！種排列方式都會被當作不同選法，該選法就重復計了N！次。比如10個球中任取三個球，取法應該是C（10，3），但如果先從10個中取一個，得C（10，1），再從9個中取一個得C（9，1），再從8個中取一個得C（8，1），再相乘結果成了P（10，3），結果增大了3！倍。概率的概念。在有限集合的情況下，概率是子集元素個數與全集元素個數的比值。在無限集合的情況下，概率是代表子集的點的面積與代表全集的點的面積的比值。概率分布函數可以描述概率分布的全貌。離散型的概率分布是一組數列，計算事件發生的概率、數學期望和方差都使用數列的計算方法。連續型的概率分布是一個函數，它等于概率密度函數的積分，計算事件發生的概率、數學期望和方差都使用積分的計算方法。概率的概念不難理解，解題能力決定于對數列和積分中的方法掌握的熟練程度。理解了基本概念，對基本數學方法就更容易掌握。初等數學是高等數學的基礎。數列又是概率論的基礎。

    三、找出解題思路很多同學做題的困難都在于找不到思路。但我覺得，在掌握基本概念和基本方法之后，多數題都容易找到思路，因為MBA數學主要考基本方法。我只提幾條建議： 1、把文字材料翻譯成數學語言。數學的語言是方程、等式或不等式，把題目中出現的每個變量都用X，Y，Z等未知數代替，再從題目中找出這些未知數之間的關系。多數初等數學題都變成了解線性方程。 2、聯想。對題目中出現的式子要展開聯想，搜索記憶庫中的導數、積分、數列等等中的公式，看它與哪個公式“模樣”比較象，就朝哪個方向去思考。 3、簡化。題目中的式子可能很復雜，我們可以把相同的東西用一個新的變量代替，復雜式子中的簡單關系就顯現出來了。 4、搭出思維的框架。就象寫文章一樣，具體內容還沒想全，但頭腦中已經有提綱。比如已知等差數列的第二項和第七項，求數列第101項到第200項的和。在具體求之前，頭腦中就要先有解題的框架：設數列首項a1和公差d為未知數—》列出兩個方程—》解出a1，d—》由數列通項公式計算前N項和公式—》計算S100和S200—》S200-S100得出答案。這樣思路清晰，能提高解題速度。此外，還可以學習一些通用解法。通用解法可以解決相同類型的所有題目，無須再費時間思考。比如線代中的線性方程解法、高數中復合函數的二階導數、隱函數的偏導數、概率中的數學期望和方差等，都是通用解法，答題的速度和準確性依賴于自己的計算能力，雖然計算復雜，但不用花時間思考。我也總結過不少通用解法，比較典型的是：已知數列通項公式A（N），求數列的前N項和S（N）。這個問題等價于求S（N）的通項公式，而S（N）=S（N-1）+A（N），這就成為遞推數列的問題。解法是尋找一個數列B（N），使S（N）+B（N）=S（N-1）+B（N-1）從而S（N）=A（1）+B（1）-B（N）猜想B（N）的方法：把A（N）當作函數求積分，對得出的函數形式設待定系數，利用B（N）-B（N-1）=-A（N）求出待定系數。例題：求S（N）=2+2*2^2+3*2^3+……+N*2^N 解：S（N）=S（N-1）+N*2^N N*2^N積分得（N*LN2-1）*2^N/（LN2）^2 因此設B（N）=（PN+Q）*2^N 則（PN+Q）*2^N-[P（N-1）+Q）*2^（N-1）=-N*2^N （P*N+P+Q）/2*2^N=-N*2^N 因為上式是恒等式，所以P=-2，Q=2 B（N）=（-2N+2）*2^N A（1）=2，B（1）=0 因此：S（N）=A（1）+B（1）-B（N） =（2N-2）*2^N+2 對于求集合元素個數的問題，也有通用解法。比如三個相交的集合，可以先畫出三個相交的圓圈，分別作為集合A、B、C，A在上，B在左下，C在右下。則A、B、C都被分為四部分，一共分為7塊。從最上開始，沿逆時針方向將周圍一圈設為X1、X2……X6，中間為X7，AUBUC的補集設為X8.那么題目中給出的任何條件都可以化成關于這八個未知數的方程組，然后變成解線性方程組的問題。如果不用這種方法，題目中的A與B的交集并上C、A與B的差交C等變化萬千的條件容易把人攪得頭暈腦漲。與通用解法相對應的是特殊解法。特殊解法方法巧妙，計算簡便，可以大大提高解題速度。但掌握特殊解法需要靠大量的練習、總結、積累。

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