例1 比較下面兩個積的大小：

    A ＝987654321 ×123456789 ，

    B ＝987654322 ×123456788.

    分析經審題可知A 的第一個因數的個位數字比B 的第一個因數的個位數字小
1 ，但A 的第二個因數的個位數字比B 的第二個因數的個位數字大1.所以不經計
算，憑直接觀察不容易知道A 和B 哪個大。但是無論是對A 或是對B ，直接把兩
個因數相乘求積又太繁，所以我們開動腦筋，將A 和B 先進行恒等變形，再作判
斷。

    解： A＝987654321 ×123456789

    ＝987654321 ×（123456788 ＋1 ）

    ＝987654321 ×123456788 ＋987654321.

    B ＝987654322 ×123456788

    ＝（987654321 ＋1 ）×123456788

    ＝987654321 ×123456788 ＋123456788.

    因為 987654321＞123456788 ，所以 A＞B.

    例2 不用筆算，請你指出下面哪道題得數最大，并說明理由。

    241 ×249 242 ×248 243 ×247

    244 ×246 245 ×245.

    解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷。

    241 ×249 ＝（240 ＋1 ）×（250 —1 ）＝240 ×250 ＋1 ×9 ；

    242 ×248 ＝（240 ＋2 ）×（250 —2 ）＝240 ×250 ＋2 ×8 ；

    243 ×247 ＝（240 ＋ 3）×（250 — 3）＝ 240×250 ＋3 ×7 ；

    例3 求 1966 、 1976 、 1986 、 1996 、 2006 五個數的總和。

    解：五個數中，后一個數都比前一個數大10，可看出1986是這五個數的平均
值，故其總和為：

    1986×5 ＝9930.

    例4 2 、4 、6 、8 、10、12…是連續偶數，如果五個連續偶數的和是320 ，
求它們中最小的一個。

    解：五個連續偶數的中間一個數應為 320÷5 ＝64，因相鄰偶數相差2 ，故
這五個偶數依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.

    總結以上兩題，可以概括為巧用中數的計算方法。三個連續自然數，中間一
個數為首末兩數的平均值；五個連續自然數，中間的數也有類似的性質——它是
五個自然數的平均值。如果用字母表示更為明顯，這五個數可以記作：x －2 、
x —1 、x 、x ＋1 、x ＋2.如此類推，對于奇數個連續自然數，最中間的數是
所有這些自然數的平均值。

    如：對于2n＋1 個連續自然數可以表示為：x —n ，x —n ＋1 ，x －n ＋
2 ，…， x—1 ， x， x＋1 ，…x ＋n —1 ，x ＋n ，其中 x是這2n＋1 個自
然數的平均值。

    巧用中數的計算方法，還可進一步推廣，請看下面例題。

    例5 將1 ～1001各數按下面格式排列：

    一個正方形框出九個數，要使這九個數之和等于：

    ①1986，②2529，③1989，能否辦到？如果辦不到，請說明理由。

    解：仔細觀察，方框中的九個數里，最中間的一個是這九個數的平均值，即
中數。又因橫行相鄰兩數相差1 ，是3 個連續自然數，豎列3 個數中，上下兩數
相差7.框中的九個數之和應是9 的倍數。

    ①1986不是9 的倍數，故不行；

    ②2529÷9 ＝281 ，是9 的倍數，但是281 ÷7 ＝40×7 ＋1 ，這說明281
在題中數表的最左一列，顯然它不能做中數，也不行；

    ③1989÷9 ＝221 ，是9 的倍數，且221 ÷7 ＝31×7 ＋4 ，這就是說221
在數表中第四列，它可做中數。這樣可求出所框九數之和為1989是辦得到的，且
最大的數是229 ，最小的數是213.

    這個例題是所謂的“月歷卡”上的數字問題的推廣。同學們，小小的月歷卡
上還有那么多有趣的問題呢！所以平時要注意觀察，認真思考，積累巧算經驗。

    244 ×246 ＝（240 ＋4 ）×（250 —4 ）＝240 ×250 ＋4 ×6 ；

    245 ×245 ＝（240 ＋5 ）×（250 — 5）＝240 ×250 ＋5 ×5.

    恒等變形以后的各式有相同的部分 240× 250，又有不同的部分 1×9 ， 2
×8 ， 3×7 ， 4×6 ， 5×5 ，由此很容易看出 245×245 的積最大。

    一般說來，將一個整數拆成兩部分（或兩個整數），兩部分的差值越小時，
這兩部分的乘積越大。

    如：10＝1 ＋9 ＝2 ＋8 ＝3 ＋7 ＝4 ＋6 ＝5 ＋5

    則5 ×5 ＝25積最大。