排隊報數

    上體育課時，同學們站好隊，1 、2 報數，然后讓報1 的學生退出隊列；再
1 、2 報數，讓報1 的學生退出隊列；從第三次開始，每次報數后，一律讓報2
的學生退出隊列，直到最后一個人為止，問最后剩下的一個人最初排在隊列的第
幾位？

    解答：我們根據隊列中最初的位置，按報數的順序依次給每個學生編上序號
1 、2 、3 ……，再讓這列學生重復1 、2 報數。

    ①如果每次全隊報完數之后，都是報1 的學生出列，則：

    第一次留下的學生是：2 、4 、6 ……，都是2 的倍數；

    第二次留下的學生是：4 、8 、12……，都是4 （22）的倍數；

    第三次留下的學生是：8 、16、24……，都是8 （23）的倍數；

    ……

    ②如果每次全隊報完數之后，都是報2 的學生出列，則：

    第一次留下的學生是：1 、3 、5 ……，都等于2 的倍數加1 ；

    第二次留下的學生是：1 、5 、9 ……，都等于4 （22）的倍數加1 ；

    第三次留下的學生是：1 、9 、17……，都等于8 （23）的倍數加1 ；

    ……

    根據上面的分析可知，在這個游戲中有兩條規律：一、按第①種規則游戲，
n 次后留下的學生中第一個的序號就是2n，最后留下的就是這列序號所含的2 的
最高次冪；二、按第②種規則游戲，則每次留下的學生中，第一個學生都是1 號，
直到最后留下的還是1 號。