有一種叫“24點”的游戲曾經風靡美國、日本等許多國家，深受青少年朋友
的喜愛。這種游戲將兩張王牌去掉，把A 、J 、Q 、K 分別看作1 點，11點、12
點、13點，或者將它們均看1 點，其余牌面是幾點，就是幾點。

    玩的規則不盡相同，其中有一種方法是：

    （1 ）四個人每人抓到13張牌，每人每次從手中任意抽取一張牌。

    （2 ）參加游戲者對這四張牌所代表的數值進行＋、－、×、÷、（）運算，
使結果為24.

    （3 ）誰先列出，誰就得1 分，牌入底；若四人均無法列出，則無人得分，
牌也入底。

    （4 ）再次每人任意抽取一張牌，再次按（2 ）（3 ）規則進行。

    （5 ）重復（2 ）、（3 ）、（4 ），直至每人手中13張牌全部用完為一局，
得分多者為勝。

    例如，抽出的四張牌為3 、4 、7 、11，可以這樣計算：

    （7 －4 ）×（11－3 ）＝3 ×8 ＝24，或（7 ＋11）÷3 ×4 ＝18÷3 ×
4 ＝6 ×4 ＝24

    這是一種非常有趣的游戲，下面我們一起來試一試：

    例1 抽出下面四組牌：（A ，J ，Q ，K 分別為1 點，11點，12點，13點）

    （1 ）2 ，3 ，4 ，5 （2 ）3 ，4 ，5 ，10

    （3 ）K ，7 ，9 ，5 （4 ）J ，6 ，Q ，5

    你能算出24點嗎？

    分別：要想比賽獲勝，必須有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎樣的
兩個數求得，如2 ×12＝24，4 ×6 ＝24，3 ×8 ＝24，18＋6 ＝24，30－6 ＝
24……這樣就可以把問題轉化成怎樣使用4 個數，湊出兩個數的問題，其中有一
點值得大家注意，就是四個數的順序可以依據需要任意安排。

    解：（1 ）依據2 ×12＝24，可得2 ×（3 ＋4 ＋5 ）＝24，

    （2 ）依據3 ×8 ＝12，可得3 ×（10÷5 ×4 ）＝24，

    （3 ）依據4 ×6 ＝24，可得（13－7 ）×（9 －5 ）＝24，

    （4 ）依據18＋6 ＝24，可得（11－5 ）＋（6 ＋12）＝24

    說明：上面各題的解法并不一定是唯一的，如依據4 ×6 ＝24，也可得第
（2 ）組為4 ×（10×3 ÷5 ）＝24，可是，就因為這樣，才非常激烈、刺激。

    例2 如果恰巧四個人抽出的撲克牌是“1 ～9 ”中的同一數字的牌，請你幫
忙想一想哪種情況可以算出“24”？怎樣算？

    分析：四人抽出同一數字的牌有9 種情況，4 個1 ，4 個3 ，4 個4 ……4
個8 ，4 個9 ，現在的問題轉化為如何使四個相同的數字（1~9 中的一個）填加
運算符號，得“24”的問題。由于4 個數字相同，用乘法關系最后求得“24”就
不太容易，應考慮＋、－關系，27－3 ＝24，25－1 ＝24，20＋4 ＝24，12＋12
＝24……經過嘗試，我們發現，4 個1 ，4 個2 ，由于數太小，無法算出“24”，
而4 個7 ，4 個8 ，4 個9 由于太大，也無法算出。其余可以實現。

    解：依據27－3 ＝24，可得3 ×3 ×3 －3 ＝24，

    依據20＋4 ＝24，可得4 ×4 ＋4 ＋4 ＝24，

    依據25－1 ＝24，可得5 ×5 －5 ÷5 ＝24，

    依據12＋12＝24，可得（6 ＋6 ）＋（6 ＋6 ）＝24，

    說明：有些不能算出24，可能是由于我們知識水平的限制，而并非真的不能，
如請同學們想一想4 個10，4 個11，4 個12，4 個13你能求解嗎？

    由上面的例子，我們可以很自然地想到這種游戲可以發展成一類專門的數學
的問題，下面我們就來研究。

    例3 填上適當的運算符號，使算式成立

    （1 ）4 4 4 4 ＝5

    （2 ）4 4 4 4 ＝6

    （3 ）4 4 4 4 ＝7

    （4 ）4 4 4 4 ＝8

    （5 ）4 4 4 4 ＝9

    （6 ）4 4 4 4 ＝10

    分析：（1 ）4 4 4 4 ＝5 ，最后一個4 前面是三個4 ，如可湊出1 ，1 ＋
4 ＝5 ，如可湊出20，20÷4 ＝5 ，4 ×4 ＋4 ＝20，因此可求解。

    （2 ）4 4 4 4 ＝6 ，最后一個4 前面是三個4 ，如可湊出2 ，2 ＋4 ＝6
；即（4 ＋4 ）÷4 ＝2 ，因此可求解。

    （3 ）4 4 4 4 ＝7 ，前面兩個4 ＋4 ＝8 ，后面兩個4 得1 即可求解，4
÷4 ＝1 剛剛好。

    （4 ）和（6 ）可利用（3 ）的思路稍加變化就可以求解。

    （5 ）4 4 4 4 ＝10，最后一個4 ，前面如是6 ，6 ＋4 ＝10可求解，但不
易做到。如前面是40，40÷4 ＝10也可以求解，44－4 ＝40，數字連用在這類題
目中是常用的一種技巧。（題目中沒有限制，當然是可以這樣做的）。

    解：

    （1 ）（4 ×4 ＋4 ）÷ 4＝5

    （2 ）（4 ＋4 ）÷4 ＋4 ＝6

    （3 ）（4 ＋4 ）－4 ÷4 ＝7

    （4 ）（4 ＋4 ）×4 ÷4 ＝8

    （5 ）（4 ＋4 ）+4÷4 ＝9

    （6 ）（44－4 ）÷4 ＝10

    說明：（1 ），（2 ），（6 ）中的解題思路是一種倒推的方法，這是一種
常用的，行之有效的方法同學們加以掌握。（4 ），（5 ）中解題思路是依據數
字的特點，這種方法，依賴于良好的數感，需要大家經過一段時間的訓練才能獲
得。

    例4 不用（），且運算符號不超過三次，添在適當位置，使下面的算式成立。

    9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000

    分析：不使用（），運算順序只能從左往右，先×、÷后＋、－；運算符號
不超過三次，就會得到一些多位數。首先選一個多位數盡可能接近1000，可選999
，1000 －999 ＝1 ，后面6 個 9要得到“1 ”，就很簡單了999 ÷999 ，問題可
求解；還可以用另一種方法接近1000，9999÷9 ＝1111，1111－1000＝111 ，后
面9999想辦法等于111 ，999 ÷9 ＝111 ，問題也可解出。

    解：999 ＋999 ÷999 ＝1000

    9999÷9 －999 ÷9 ＝1000

    說明：先靠近所求數，再進行適當調整，這是一種非常行之有效的方法，在
數字比較多時常常用到。當然此題還有其它方法，同學們

    可以用上面的思路再試一試。

    例5 填入適當運算符號，使下式成立。

    9 8 7 6 5 4 3 2 1 ＝1000

    分析：此題中9~1 九個數字各不相同，位置固定，初看與前面的例題有很大
不同，但是經仔細讀題，認真分析，我們可以發現，做此題時，＋、－、×、÷
（）均可使用，運算符號用多少次沒有限制，數字可以連用，也可以分開，條件
很寬松。由于1000數比較大，我們也采用例4 中靠近結果，再湊較小數的方法解
決。可以用987 ＋6 ＝993 ，再用5 4 3 2 1 湊成7 即可，這個方法就很多了。

    還可以取前邊987 和后邊的21相加得1008，中間的6 5 4 3 湊成8 就行了。

    解：987 ＋6 ＋5 －4 ＋3 ×2 ×1 ＝1000

    987 ＋6 ＋5 ＋4 －3+2 －1 ＝1000

    987 ＋6 ＋（5 －4 ）×（3 ×2 ＋1 ）＝1000

    987 ＋6 ＋5 ＋（4 －3 ）×2 ×1 ＝1000

    987 －（6 －5 ＋4 ＋3 ）＋21＝1000

    說明：此題還有許多解決，但不論哪種方法，都遵循先靠近結果，再湊較少
數的原則，大家可以再想想，你還能想到什么方法？

    例6 在下列算式中合適的地方，填上括號，使算式成立。

    （1 ）4 ＋5 ×6 ＋8 ÷4 －2 ＝30

    （2 ）4 ＋5 ×6 ＋8 ÷4 －2 ＝39

    （3 ）4 ＋5 ×6 ＋8 ÷4 －2 ＝21

    （4 ）4 ＋5 ×6 ＋8 ÷4 －2 ＝140

    分析：（1 ）從最后一步逆推，減2 前面的式子得32，還從后面入手，這就
需要4 ＋5 ×6 ＋8 ，填上適當的括號得128 ，嘗試發現括號的填法有兩種（4
＋5 ）×6 ＋8 ，4 ＋5 ×（6 ＋8 ），分別得128 ，74，因此括號的填法為[
（4 ＋5 ）×6 ＋8]÷4 －2 ＝30

    （2 ）從最后一步逆推，減號前面的式子要得41，還從后面入手要求4 ＋5
×6 ＋8 ＝41×4 這是無法實現的。從前面入手考慮，就應設法使5 ×6 ＋8 ÷
4 －2 ＝35，還從前面想這就需要6 ＋8 ÷4 －2 ＝7 ，可從這樣實現（6 ＋8 ）

    ÷（4 －2 ）。因此括號的填法為4 ＋5 ×（6 ＋8 ）÷（4 －2 ）＝39

    （3 ）從后面減2 前面的式子得23才能有解，可4 ＋5 ×6 ＋8 ÷4 無論如
何填加括號，都不可能現實。把4 －2 放在一個括號里等于2 ，i 除號前面的式
子就要得42，通過觀察容易發現，4 ＋5 ×6 ＋8 按順序計算就可得42，所以此
題括號的填法是（4 ＋5 ×6 ＋8 ）÷（4 －2 ）＝21

    （4 ）140 比較大，應充分發揮“×”的作用，使“×”左右兩側的因數盡
可能大，即（4 ×5 ）×（6 ＋8 ）＝280 ，再縮小2 倍，就是所求結果，正好
“÷”后面4 －2 ＝2 ，所以此題括號的填法是（4 ×5 ）×（6 ＋8 ）÷（4
－2 ）＝140

    解：

    （1 ）[ （4 ＋5 ）×6 ＋8]÷4 －2 ＝30

    （2 ）4 ＋5 ×（6 ＋8 ）÷（4 －2 ）＝39

    （3 ）（4 ＋5 ×6 ＋8 ）÷（4 －2 ）＝21

    （4 ）（4 ×5 ）×（6 ＋8 ）÷（4 －2 ）＝140

    說明：填括號時既可以用“（）”，也可以根據需要用“[]”，從一端想起
經過嘗試，淘汰，最終可以找到解題方法。

    閱讀材料

    數學符號的起源

    數學除了記數以外，還需要一套數學符號來表示數和數、數和形的相互關系。

    數學符號的發明和使用比數字晚，但數量多得多。現在常用的200 多個，初
中數學書里就不下20多種。他們都有一段有趣的經歷。例如：（1 ）加號曾經有
好幾種，現在通用“+ ”號。“+ ”號是由拉丁文“et”（“和”的意思）演變
而來的。也有人說，賣酒的商人用“- ”表示酒桶里的酒賣了多少。以后，當把
新酒灌入大桶的時候，就在“- ”上加一豎，意思是把原線條勾銷。這樣就成了
個“+ ”號。到了十五世紀，德國數學家魏德美正式確定：“+ ”用作加號，
“- ”

    號用作減號。（2 ）乘號曾經用過十幾種，現在通用兩種。一個是“×”，
最早是英國數學家奧屈特1631年提出的；一個是“&#8226；”，最早是英國數學
家赫銳奧特首創的。德國數學家萊布尼茨認為：“×”向拉丁字母“X ”，加以
反對，而贊成用“&#8226；”號。到了十八世紀，美國數學家歐德萊確定，把
“×”作為乘號，他認為“×”是“+ ”斜起來寫，是另一種表示增加的符號。

    （3 ）

    “÷”最初作為減號，在歐洲大陸長期流行。直到1631年英國數學家奧屈特
用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除線）表示除。后來瑞士數學家拉哈
在他所著的《代數學》里，才根據群眾創造，正式將“÷”作為除號。（4 ）十
六世紀法國數學家維葉特用“= ”表示兩個量的差別。可是英國牛津大學數學、
修辭學教授列考爾德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數量相等是最合
適不過的了，于是等于符號“= ”就從1540年開始使用起來。1591年，法國數學
家韋達大量使用這個符號，才逐漸為人們接受。

    練習題

    1.在“24”點游戲中提出了下面幾組牌，你能很快求出“24”嗎？

    （1 ）1 ，3 ，5 ，7 （2 ）2 ，5 ，7 ，9

    （3 ）1 ，3 ，9 ，10（4 ）10，4 ，10，4

    （5 ）K ，Q ，J ，J （6 ）Q ，10，Q ，1

    分析：（4 ）10×10＝100 是4 的25倍，100 －4 ＝96，正好是4 的24倍，
所以可以這樣做（10×10－4 ）÷4 ＝24

    （5 ）K ，Q ，J ，J 即13，12，11，11，依據25－1 ＝24可得13＋12－11
÷11＝24

    （6 ）Q ，10，Q ，1 即12，10，12，1 ，依據12×2 ＝24可得12×（12－
10）×1 ＝24

    解：

    （1 ）（5 ＋7 ）×（3 －1 ）＝24（2 ）5 ×7 －9 －2 ＝24

    （3 ）（1 ＋10）×3 －9 ＝24（4 ）（10×10－4 ）÷4 ＝24

    （5 ）13＋12－11÷11＝24（6 ）12×（12－10）×1 ＝24

    2.在“24”點游戲中，抽出了下面兩組牌，你能求出“24”嗎？

    （1 ）3 ，3 ，7 ，7 （2 ）1 ，5 ，5 ，5

    分析：（1 ）用常用的方法無論怎么求都不能得出“24”，是否就沒有辦法
了呢？當然不是，用乘法分配律的方法就可以求解

    （3 ＋3 ÷7 ）×7

    ＝3 ×7 ＋3 ÷7 ×7

    ＝24

    （2 ）用同樣的方法求解

    （5 －1 ÷5 ）×5

    ＝5 ×5 －1 ÷5 ×5

    ＝24

    解：（1 ）（3 ＋3 ÷7 ）×7 ＝24

    （2 ）（5 －1 ÷5 ）×5 ＝24

    說明：熟練地掌握運算定律可以把題目化難為易，這里安排這兩個題是為了
開闊同學們的眼界，拓寬同學們的思路。

    3.抽的四張牌恰好是“1 ～9 ”中從大到小連續排列的四張，這樣的牌能算
出“24”嗎？

    分析：符合要求的組合有六組：即9 ，8 ，7 ，6 ；8 ，7 ，6 ，5 ；6 ，
5 ，4 ；6 ，5 ，4 ，3 ；5 ，4 ，3 ，2 ；4 ，3 ，2 ，1 不難發現它們均可
求出24點。

    解：

    （1 ）依據4 ×6 ＝24得8 ÷（9 －7 ）×6 ＝24

    （2 ）依據2 ×12＝24得（7 ＋5 ）×（8 －6 ）＝24

    （3 ）依據2 ×12＝24得（5 ＋7 ）×（6 －4 ）＝24

    （4 ）依據4 ×6 ＝24得2 ×（3 ＋4 ＋5 ）＝24

    （5 ）依據4 ×6 ＝24得1 ×2 ×3 ×4 ＝24

    說明：這個例子告訴我們不論從大到小，還是從小到大，連續取“1~9 ”中
任意四個數均可湊成“24”。

    4.添上適當的運算符號，使算式成立。

    （1 ）6 6 6 6 ＝1 （2 ）6 6 6 6 ＝2

    （3 ）6 6 6 6 ＝3 （4 ）6 6 6 6 ＝4

    （5 ）6 6 6 6 ＝5 （6 ）6 6 6 6 ＝6

    分析：（1 ）根據A ÷A ＝1 ，可得許多種解，如（6 ＋6 ）÷（6 ＋6 ）

    ＝1 或（6 ×6 ）÷（6 ×6 ）＝1 ……

    （2 ）根據1 ＋1 ＝2 ，可得6 ÷6 ＋6 ÷6 ＝2

    （3 ）根據18÷6 ＝3 ，可得（6 ＋6 ＋6 ）÷6 ＝3

    （4 ）根據6 －2 ＝4 ，可得6 －[ （6 ＋6 ）÷6]＝4

    （5 ）根據30÷6 ＝5 ，可得（6 ×6 －6 ）＝5

    （6 ）根據0 ＋6 ＝6 ，可得6 ×（6 －6 ）＋6 ＝6 或（6 －6 ）×6 ＋
6 ＝0 ……

    解：

    （1 ）（6 ＋6 ）÷（6 ＋6 ）＝1 （2 ）（6 ÷6 ）＋（6 ÷6 ）＝2

    （3 ）（6 ＋6 ＋6 ）÷6 ＝3 （4 ）6 －［（6 ＋6 ）÷6 ］＝4

    （5 ）（6 ×6 －6 ）÷6 ＝5 （6 ）（6 －6 ）×6 ＋6 ＝0

    5.用7 個7 組成4 個數，并使運算結果為100

    7 ，7 ，7 ，7 ，7 ，7 ，7 ＝100

    分析：首先要使一部分接近100 ，777 ÷7 ＝111 ，111 －100 ＝11，后面
的777 湊成11就可以了77÷7 ＝11，所以可以這樣解：

    777 ÷7 －77÷7 ＝100

    6.在9 個9 之間填適當的運算符號，使下面算式成立。

    9 9 9 9 9 9 9 9 9 ＝2008

    分析：先要想辦法使一部分靠近“2000”，999 ＋999 ＝1998，2008－1998
＝10，后面的三個9 湊成10即可。

    解：999 ＋999 ＋9 ÷9 ＋9 ＝2008

    說明：前六個數也可以用其他方法求得1998，如999 ×[ （9 ＋9 ）÷9]＝
1998這種題目往往不只一種解法。

    7.填上適當的運算符號，使算式成立。

    9 8 7 6 5 4 3 2 1 ＝2007

    分析：結果較大，先用一部分湊出與2007相接近的數，即654 ×3 ＝1962而
2007－1962＝45，現在我們要辦法使9 ，8 ，7 ，2 ，1 湊成45，而45－21＝24，
9 ＋8 ＋7 ＝24.

    解：9 ＋8 ＋7 ＋654 ×3 ＋21＝2007

    8.在11～15之間，選擇恰當位置，填上適合的運算符號，使算式結果為100.

    11 12 13 14 15=100

    分析：原題的意思是使下式成立：

    1 1 1 2 13 14 15＝100

    取121 靠近100 ，11＋121 －31＝101 ，415 湊成“1 ”即可有解，（4 ＋
1 ）÷5 ＝1.還可以取111 靠近100 ，111 －21＝90，3 1 4 1 5 湊成10即可有
解，3 －1 ＋4 －1 ＋５＝10此題還有許多方法，請同學們自己試一試。

    解：11＋121 －31－（4 ＋1 ）÷5 ＝100 或111 －21＋3 －1 ＋4 －1 ＋
5 ＝100

    9.現有的牌為1 ～10，請從中選牌，每張牌只用一次，使下列“24”點游戲
成立。

    （1 ）□＋□×６＋11＝24

    （2 ）（□＋5 ）×2 ＋□＝24

    （3 ）（□×10－□）÷4 ＋11＝24

    （4 ）□×3 －□÷2 ＝24

    （5 ）□×5 －4 ÷4 ＝24

    （6 ）13＋□×3 －10＝24

    分析：觀察這六個算式，我們發現（5 ），（6 ）很好確定所選牌是5 和7.
再觀察余下的四個算式，（4 ）□×3 －□÷2 ＝24，□×3>24，□可取9 ，10，
取10時，□÷2 的方塊在1~10中無值可取，所以□×3 只能取9 ，另一個□中可
以取6.

    再來觀察（3 ）（□×10－□）÷4 ＝24 24 ×4 ＝96，所以□×10－□＝
96，□×10≥100 ，1~10中，只能取10，另一個方□中就只能取4.

    接下來看（1 ）□+ □×6+11＝24，24－11＝13，□+ □×6 ＝13，□×6<13
的方格中可取1 和2 ；取1 時有7 ＋1 ×6 ＝13，7 在（6 ）中已經用過，所以
□×6 的方格中只能取2 ，另一個□中取1.

    最后觀察（2 ）式，現在只剩下3 、8 ，（□＋5 ）×2 為偶數，24為偶數，
所以第二個□只能取8 ，第一個方面中取3.

    解：

    （1 ）×６＋11＝24（2 ）（＋5 ）×2 ＋＝24

    （3 ）（×10－）÷4 ＝24（4 ）×3 －÷2 ＝24

    （5 ）×5 －4 ÷4 ＝24（6 ）13＋□×3 －10＝24

    10. 在適當的位置中，填上括號，使下列算式成立。

    （1 ）9 ＋60÷3 ＋2 ×4 －1 ＝30

    （2 ）9 ＋60÷3 ＋2 ×4 －1 ＝56

    （3 ）9 ＋60÷3 ＋2 ×4 －1 ＝15

    （4 ）9 ＋60÷3 ＋2 ×4 －1 ＝45

    分析：（1 ）題中只有÷3 ，－1 兩處可以使數值變小，特別值得注意的是
“－”后面只有1 ，所以要想辦法使算式中數靠近30，又要小于30，（9 ＋60）

    ÷3 ＝23，再使后面得7 即可，2 ×4 －1 正好得7.

    （2 ）56是個較大的數，我們還要先靠近56，再湊小數，在中間的÷、×之
間想辦法，60÷（3 ＋2 ）×4 ＝48，再加8 就得結果了，9 －1 ＝8.

    （3 ）從前端想15－9 ＝6 ，想辦法使后面部分得6 ，60÷10＝6 ，3 ＋2
×4 －1 正好得10.

    （4 ）從前端想45－9 ＝36，36＝12×3 ＝9 ×4 ，60÷（3 ＋2 ）＝12，
4 －1 ＝3 ，可求解。

    解：（1 ）（9 ＋60）÷3 ＋2 ×4 －1 ＝30

    （2 ）9 ＋60÷（3 ＋2 ）×4 －1 ＝56

    （3 ）9 ＋60÷（3 ＋2 ×4 －1 ）＝15

    （4 ）9 ＋60÷（3 ＋2 ）×（4 －1 ）＝45