1.三維圈叉游戲

    這是一個培養兒童形成空間概念的極佳游戲。也可以在紙上畫出4 ×4 的方
格以代表4 層棋盤，而用籌碼來玩，但除非是最聰明的兒童，否則這樣玩是非常
困難的。

    角落中的棋子可控制7 條直線。

    位于邊緣的棋子可控制4 條直線。

    位于上層或下層中央4 個洞內的任何一個棋子可控制4 條直線。

    位于中間兩層中央4 個洞內的任何一個棋子可控制7 條直線。

    4 個棋子共有76條可能連成的直線。在每一層，與邊平行的直線有8 條，再
加上2 條對角線，所以每一層水平的直線就有10條，4 層總共就有40條。還有16
條垂直線，4 條長對角線，以及在8 個垂直面中，每個面上的2 條對角線。

    能擋住所有線的最少棋子數應該是19.

    在任何一層，所有的水平線都可以用如圖1 所示的兩種方式之一加以阻擋。

    在第一種方式中棋子的排列呈對稱形，看起來很好用，其實功效不大。第二
種方式只要能恰當地加以運用，則在每一層除了3 條長對角線之外，可以擋住所
有線；然后再加3 個棋子以阻擋長對角線，即得出19的總數（圖2 ）。但這種解
答缺乏經常在此種問題中可以找到的對稱性，所以希望讀者能夠找到更令人滿意
的答案，甚至找到使用更少棋子的解答。

    2.可拼出哪些長方形

    無法拼出更小的正方形。顯然不可能拼出2 ×2 的正方形，面積為9 平方單
位的3 ×3 正方形也不可能由面積為4 平方單位的形狀組合而成。

    下面的圖中組合出5 ×4 、6 ×4 、7 ×4 、8 ×4 與9 ×4 的長方形。從
前3 個圖可以看出如何從一個解推演出另一個解，而從8 ×4 的長方形中則可以
看出要利用到180 °旋轉對稱。這些解都不是唯一解。例如，將5 ×4 的解放在
4 ×4 的解的旁邊，就可以得到另一種9 ×4 的解。當n ≥4 時，所有n ×4 的
長方形都是可能拼出來的，我們很容易就可看出，這可以將上述已知的解組合在
一起而得到。由于產品形狀的面積為4 平方單位，故只需要考慮面積為4n平方單
位的形狀，這就排除了拼出5 ×3 與6 ×5 的長方形，以及面積為210 平方單位
長方形的可能性。

    3.八邊形練習

    從折紙法中可以看出正八邊形所具有的對稱性。在折起的紙上剪出圖案，再
將紙展開，并仔細觀察圖案的形式，更容易看出正八邊形的對稱性。

    正八邊形有8 條對稱線，4 條經過相對的頂點，4 條經過對邊的中點。

    分割謎題的解答如圖所示。作第二個圖形時所用的65°角是個很實用的近似
值，讀者可以求出精確的角度。

    4.分割問題

    圖1 說明如何將正方形的鑲嵌圖案置于十字形的鑲嵌圖案之上，從而得到希
臘十字形的第二種分割方法。

    將正方形置于H 形之上，從而找出適當的分割方式，如圖2 所示。

    另一種十字形則可以很整齊地組合成鑲嵌圖案，而且只要連接這些十字形的
中心，就可以得到正方形的鑲嵌圖案，而這個圖案將十字形巧妙地分割成4 個相
等的部分，參見圖3.

    由于T 字形缺乏對稱性，因此這是個較棘手的問題，但從圖4 所示的鑲嵌圖
案中可導出不同的分割方式，圖4 即包含其中兩種。

    這種鑲嵌圖案的技巧并不僅限于直線的圖形中，如圖5.圖中的甕狀鑲嵌圖案，
同樣可以用一組正方形圖案來說明，用兩條直線就能將甕分割成可以重組為一個
正方形的4 個部分（請參見《數學樂園。茅塞頓開》第86題）。

    所有的12種五連形（《數學樂園。茅塞頓刑第76題）都可以作鑲嵌圖案，練
習將形狀分割再組合成正方形，這是個很好的開始。不過還是可以看看你還能發
現什么，因為有無限多種可能。

    圖6 說明了如何將H 形分成4 個完全一樣的部分，而且能重新組成兩個H.

    只用一條直線就將長方形分成可重組為一正方形的兩個部分，則此長方形的
長必為其寬的4 倍，如圖7 所示。

    其他長方形則可以用階梯式的分割方法分成兩個可重組為正方形的部分，如
圖8 所示16×9 的長方形。這種方法對于其他哪些長方形也適用呢？

    羅以德分割問題的解如圖9 所示。

    5.平行四邊形的面積

    老師可利用一節課的時間讓學生制作這組模型，這會給學生留下極深的印象，
教學效果遠勝于用形式化的證明來導出結果。老師可以用較大的模型做示范，不
過一定要讓學生親自動手做。