二、例題

    例1 三個連續自然數的乘積是210 ，求這三個數。

    解：∵210=2 ×3 ×5 ×7

    ∴可知這三個數是5 、6 和7.

    例2 兩個質數的和是40，求這兩個質數的乘積的最大值是多少？

    解：把40表示為兩個質數的和，共有三種形式：

    40=17+23=11 ＋29=3+37.

    ∵17×23＝391 ＞11×29＝319 ＞3 ×37＝111.

    ∴所求的最大值是391.

    答：這兩個質數的最大乘積是391.

    例3 自然數123456789 是質數，還是合數？為什么？

    解：123456789 是合數。

    因為它除了有約數1 和它本身外，至少還有約數3 ，所以它是一個合數。

    例4 連續九個自然數中至多有幾個質數？為什么？

    解：如果這連續的九個自然數在1 與20之間，那么顯然其中最多有4 個質數
（如：1 ～9 中有4 個質數2 、3 、5 、7 ）。

    如果這連續的九個自然中最小的不小于3 ，那么其中的偶數顯然為合數，而
其中奇數的個數最多有5 個。這5 個奇數中必只有一個個位數是5 ，因而5 是這
個奇數的一個因數，即這個奇數是合數。這樣，至多另4 個奇數都是質數。

    綜上所述，連續九個自然數中至多有4 個質數。

    例5 把5 、6 、7 、14、15這五個數分成兩組，使每組數的乘積相等。

    解：∵5=5 ，7=7 ，6=2 ×3 ，14＝2 ×7 ，15=3×5 ，

    這些數中質因數2 、3 、5 、7 各共有2 個，所以如把14

    （=2×7 ）放在第一組，那么7 和6 （=2×3 ）只能放在第二組，繼而15
（＝3 ×5 ）只能放在第一組，則5 必須放在第二組。

    這樣14×15=210=5×6 ×7.

    這五個數可以分為14和15，5 、6 和7 兩組。

    例6 有三個自然數，最大的比最小的大6 ，另一個是它們的平均數，且三數
的乘積是42560.求這三個自然數。

    分析先大概估計一下，30×30×30=27000，遠小于42560.40×40×40＝64000
，遠大于42560. 因此，要求的三個自然數在30～40之間。

    解：42560=26×5 ×7 ×19

    ＝25×（5 ×7 ）×（19×2 ）

    ＝32×35×38（合題意）

    要求的三個自然數分別是32、35和38.

    例7 有3 個自然數a 、b 、c.已知a ×b=6 ，b ×c=15，

    a ×c ＝10. 求a ×b ×c 是多少？

    解：∵6 ＝2 ×3 ，15=3×5 ，10＝2 ×5.

    （a ×b ）×（b ×c ）×（a ×c ）

    = （2 ×3 ）×（3 ×5 ）×（2 ×5 ）

    ∴a2×b2×c2=22 ×32×52

    ∴（a ×b ×c ）2 ＝（2 ×3 ×5 ）2

    a ×b ×c=2 ×3 ×5 ＝30

    在例7 中有a2＝22，b2=32 ，c2=52 ，其中22=4，32＝9 ，52＝25，像4 、
9 、25這樣的數，推及一般情況，我們把一個自然數平方所得到的數叫做完全平
方數或叫做平方數。

    如。12=1，22＝4 ，32＝9 ，42=16 ，…，112=121 ，122=144 ，…其中1 ，
4 ，9 ，16，…，121 ，144 ，…都叫做完全平方數。

    下面讓我們觀察一下，把一個完全平方數分解質因數后，各質因數的指數有
什么特征。

    例如：把下列各完全平方數分解質因數：

    9 ，36，144 ，1600，275625.

    解：9=3236=22 ×32144=32×24

    1600=26 ×52275625=32 ×54×72

    可見，一個完全平方數分解質因數后，各質因數的指數均是偶數。

    反之，如果把一個自然數分解質因數之后，各個質因數的指數都是偶數，那
么這個自然數一定是完全平方數。

    如上例中，36＝62，144=122 ，1600=402，275625=5252.

    例8 一個整數a 與1080的乘積是一個完全平方數。求a 的最小值與這個平方
數。

    分析∵a 與1080的乘積是一個完全平方數，

    ∴乘積分解質因數后，各質因數的指數一定全是偶數。

    解：∵1080×a=23×33×5 ×a ，

    又∵1080=23 ×33×5 的質因數分解中各質因數的指數都是奇數，

    ∴a 必含質因數2 、3 、5 ，因此a 最小為2 ×3 ×5.

    ∴1080×a ＝1080×2 ×3 ×5 ＝1080×30＝32400.

    答：a 的最小值為30，這個完全平方數是32400.

    例9 問360 共有多少個約數？

    分析360=23×32×5.

    為了求360 有多少個約數，我們先來看32×5 有多少個約數，然后再把所有
這些約數分別乘以1 、2 、22、23，即得到23×32×5 （=360）的所有約數。為
了求32×5 有多少個約數，可以先求出5 有多少個約數，然后再把這些約數分別
乘以1 、3 、32，即得到32×5 的所有約數。

    解：記5 的約數個數為Y1，

    32×5 的約數個數為Y2，

    360 （=23 ×32×5 ）的約數個數為Y3. 由上面的分析可知：

    Y3=4×Y2，Y2＝3 ×Y1，

    顯然Y1=2（5 只有1 和5 兩個約數）。

    因此Y3＝4 ×Y2=4×3 ×Y1=4×3 ×2=24.

    所以360 共有24個約數。

    說明：Y3=4×Y2中的“4 ”即為“1 、2 、22、23”中數的個數，也就是其
中2 的最大指數加1 ，也就是360 ＝23×32×5 中質因數2 的個數加1 ；Y2=3×
Y1中的“3 ”即為“1 、3 、32”中數的個數，也就是23×32×5 中質因數3 的
個數加1 ；而Y1=2中的“2 ”即為“1 、5 ”中數的個數，即23×32×5 中質因
數5 的個數加1.因此

    Y3＝（3 ＋1 ）×（2+1 ）×（1+1 ）=24.

    對于任何一個合數，用類似于對23×32×5 （=360）的約數個數的討論方式，
我們可以得到一個關于求一個合數的約數個數的重要結論：

    一個合數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數（即指數）
加1 的連乘的積。

    例10求240 的約數的個數。

    解：∵240 ＝24×31×51，

    ∴240 的約數的個數是

    （4 ＋1 ）×（1+1 ）×（1 ＋1 ）=20 ，

    ∴240 有20個約數。

    請你列舉一下240 的所有約數，再數一數，看一看是否是20個？