數學提高之從數列遞推到N球配對問題

下面介紹求簡單遞推數列通項公式的通用解法，并由此思路解一個老題

以下記A（N）為數列第N項

1、已知A1=1，A（N）=2A（N-1）+1，求數列通項公式
解：由題意，A（N）+1=2[A（N-1）+1]
即 A（N）+1是以2為首項，2為公比的等比數列
因此 A(N)+1=2^N
數列通項公式為 A(N)=2^N-1

2、通用算法
已知A1=M，A（N）=P*A（N-1）+Q，P《》1，求數列通項公式
解：設 A（N）+X=P*[A（N-1）+X]
解得 X=Q/（P-1）
因此 A（N）+Q/（P-1）是以A1+Q/（P-1）為首項，P為公比的等比數列
由此可算出A（N）通項公式

3、已知A1和A2， A（N）=P*A（N-1）+Q*A（N-2），求數列通項公式
解題思路：設 A（N）+X*A（N-1）=Y*[A（N-1）+X*A（N-2）]
代入原式可得出兩組解，對兩組X，Y分別求出
A（N）+X*A（N-1）的通項公式
再解二元一次方程得出A（N）
注：可能只有一組解，但另有解決辦法。

4、現在用上面的思路來解決一個著名的問題：
N個球和N個盒子分別編號從1到N，N個球各放入一個盒子，求沒有球與盒子編號相同的放法總數。

解：設A（N）為球數為N時滿足條件的放法（以下稱無配對放法）總數，
易知A1=0，A2=1
當N》2時，一號球共有N-1種放法，假設1號球放入X號盒子
在剩下的N-1個球和N-1個盒子中，如X號球正好放入1號盒子，
問題等價于有N-2個球的無配對放法，放法總數為：A（N-2）
在剩下的N-1個球和N-1個盒子中，如X號球沒有放入1號盒子，
則可以把X號球看作1號球，問題等價于有N-1個球的無配對放法，
放法總數為：A（N-1）

因此有 A（N）=（N-1）*[A（N-1）+A（N-2）]
上式可變換為： A（N）-NA（N-1）
=-[A（N-1）-（N-1）*A（N-2）]
按等比數列得出： A（N）-NA（N-1）=（-1）^N
上式除以N！得出：
A（N） A（N-1） （-1）^N
------- = ---------------- + -----------------
N！ （N-1）！ N！

把 A（N）/N！當作新的數列， 把（-1）^N/N！也作為一個數列
則 A（N）等于數列 （-1）^N/N！從第二項到第N項的和再乘以N

另外可得出：
N球恰有K球與盒子配對的放法總數為： C（N，K）*A（N-K）