勾股定理證明方法之一的培利加剖分（ Perigal‘s dissection）在《數學
樂園。茅塞頓開》中已經描述過，但因為勾股定理是相當重要的定理，故在此再
特別舉出一些可行的證明方法，供讀者做比較。

    下面列舉的前3 個方法非常類似，而且都需要利用到4 個全等的直角三角形。

    請將它們從卡片中剪下，并且實際練習看看。

    （1 ）如圖1 所示，將4 個三角形排成邊長為a ＋b 的正方形4BCD，使中間
留下邊長c 的一個正方形洞（陰影部分）。

    畫出正方形ABCD. 現在移動三角形至圖2 所示的位置中，于是留下了邊長分
別為a 與b 的兩個正方形洞。這么一來，圖1 和圖2 中的陰影部分面積必定相等，
所以

    c2=a2+b2

    （2 ）此證明以圖1 為基礎：

    正方形ABCD的面積= 陰影部分正方形的面積+4個三角形的面積

    得出 a2+b2=c2

    （3 ）這次將4 個直角三角形的直角部分朝內放，排成一個邊長為c 的正方
形PQRS（見圖3 ），中間的洞（陰影部分）則是邊長為b －a 的正方形。

    正方形PQRS的面積= 陰影部分正方形的面積+4個三角形的面積

    得出 c2=a2+b2

    （4 ）此證明于1860年首次發表，同樣也是著眼于使面積相等的概念。這題
與上述的第一、第二個方法有頗多類似之處。

    正方形ABNL的面積

    = 正方形KCOM的面積－4 個三角形的面積

    = 正方形DFHI的面積－4 個三角形的面積

    = 正方形DFHI的面積－長方形ACBI的面積－長方形CEFC的面積

    = 正方形ADEC的面積+ 正方形BCGH的面積故可得

    c2=b2+a2

    （5 ）介紹了許多幾何變換的方法后，這里要以有趣的切變換（shearing transformation）

    為基礎來證明勾股定理。參見圖 5.

    將以BC為邊的正方形斜切至右方，并將以AC為邊的正方形向上切至與直線CD
相連。（要記住，切變換使面積保持不變。）然后再將圖形沿直線DC切換，直到
圖形抵達直線AB為止，這時圖形變成正方形ABEF.

    以AB為邊的正方形面積= 以BC為邊的正方形面積+ 以AC為邊的正方形面積

    所以 c2=a2+b2

    （6 ）此證明有時會利用相似三角形來解釋，但參考圖6 用三角函數來證明
會更容易些。

    AB=AN+NB

    c=b cos θ+a cosφ

    將上式等號兩邊同時乘以c ，則得

    c2=b2+a2

    （7 ）勾股定理最令人滿意的證明之一就是用向量來證明，參見圖7 所示。

    c2=c.c= （a+b ）。（a+b ）=a.a+2a.b+b.b=a2+b2

    因為 a⊥b

    所以a.b=0