在應用數學知識解決日常生活中的一些實際問題時，經常會出現解決方案不
止一種，有時還會有無數種的情況。在這種情況下，我們往往需要找最大量或最
小量。

    例1 試求乘積為36，和為最小的兩個自然數。

    分析與解不考慮因數順序，乘積是36的兩個自然數有以下五種情況：1 ×36、
2 ×18、3 ×12、4 ×9 、6 ×6.相應的兩個乘數的和是：1+36=37 、2+18=20 、
3+12=15 、4+9=13、6+6=12. 顯然，乘積是36，和為最小的兩個自然數是6 與6.

    例2 試求乘積是80，和為最小的三個自然數。

    分析與解不考慮因數順序，乘積是80的三個自然數有以下八種情況：1 ×2
×40、1 ×4 ×20、1 ×5 ×16、1 ×8 ×10、2 ×2 ×20、2 ×4 ×10、2 ×
5 ×8 、4 ×4 ×5.經過計算，容易得知，乘積是80，和為最小的三個自然數是
4 、4 、5.

    結論一：從上述兩例可見，m 個自然數的乘積是一個常數，則當這m 個乘數
相等或最相近時，其和最小。

    例3 試求和為8 ，積為最大的兩個自然數。

    分析與解不考慮加數順序，和為8 的兩個自然數有以下四種情況：1+7 、2+6
、3+5、4+4.相對應的兩個加數的積是：1 ×7=7 、2 ×6=12、3 ×5=15、4 ×4=16.
顯然，和為8 ，積為最大的兩個自然數是4 和4.

    例4 試求和為13，積為最大的兩個自然數。

    分析與解不考慮加數順序，和為13的兩個自然數有以下六種情況：1+12、2+11、
3+10、4+9 、5+8 、6+7.經過計算，不難發現，和為13，積為最大的兩個

    結論二：從上述兩例可知，m 個自然數的和是一個常數，則當這m 個數相等
或最相近時，其積最大。

    例5 砌一平方米的圍墻要用磚50塊，現有5600塊磚，用來砌一個矩形曬谷場
的圍墻。如果圍墻高2 米，則砌成的曬谷場的長和寬各是多少米時，曬的谷最多？

    分析與解根據題意，首先可知5600塊磚可砌圍墻（5600÷50÷2=）56米，即
長方形曬谷場的周長為56米。要使曬谷場曬的谷最多，實際就是長方形曬谷場的
面積（長×寬）要最大。而長方形的周長56米一定，即長與寬的和（56÷2=）28
米也一定，因此只有當長與寬相等（都是14米）時，面積才最大。所以，曬谷場
的長和寬都是14米時，曬的谷最多。這時曬谷場的面積是：

    14×14=196（平方米）

    例6 要用竹籬笆圍一個面積為6400平方米的矩形養雞場。如果每米籬笆要用
去30千克毛竹，那么該怎樣圍，才能使毛竹最省？

    分析與解要使毛竹最省，就是養雞場的周長要最小，而矩形養雞場的面積6400
平方米一定，即長與寬的積一定，因此，只有當長與寬相等（都是80米）時，周
長才最小。所以，只有當養雞場的長和寬都為80米時，所用毛竹最省。這時所需
毛竹是：

    30×〔（80+80 ）×2 〕=30 ×320=9600（千克）

    例7 用2 到9 這八個數字分別組成兩個四位數，使這兩個四位數的乘積最大。

    分析與解用2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 這八個數字組成兩個四位數，
使乘積最大，顯然，9 和8 應分別作兩個數的千位數，7 和6 應分別作百位數，
但7 和6 分別放在9 和8 誰的后面呢？

    因為：97+86=183 ，96+87=183 ，它們的和相等。又有：

    97-86=11，96-87=9

    顯然，96與87之間比97與86之間相隔更少，更相近。所以，96與87的乘積一
定大于97與86的乘積。

    所以，7 應放在8 后面，6 應放在9 后面。

    同理，可安排后面兩位數字，得到的兩個四位數是9642和8753. 它們的積是

    9642×8753=84396426

    例8 試比較下列兩數的大小：

    a=8753689 ×7963845

    b=8753688 ×7963846

    分析與解此題若采用轉化法或設置中間數法都能比較出結果，但過程復雜。

    仔細觀察兩數會發現，a 中兩個因數的和與b 中兩個因數的和相等。因此，
要比較a 與b 誰大，只要看a 與b 哪一個數中的兩個因數之間相隔更少，更相近。
很容易看出8753688 與7963846 之間比8753689 與7963845 之間相隔更少，更相
近，所以，可得出b ＞a.