一、填空題1.四位數"3AA1"是9 的倍數，那么A=_____. 2. 在"25 □79這個
數的□內填上一個數字，使這個數能被11整除，方格內應填_____. 3. 能同時被
2 、3 、5 整除的最大三位數是_____. 4. 能同時被2 、5 、7 整除的最大五位
數是_____. 5. 1 至100 以內所有不能被3 整除的數的和是_____. 6. 所有能被
3 整除的兩位數的和是______. 7.已知一個五位數□691 □能被55整除，所有符
合題意的五位數是_____. 8. 如果六位數1992□□能被105 整除，那么它的最后
兩位數是_____. 9. 42□28□是99的倍數，這個數除以99所得的商是_____. 10.
從左向右編號為1 至1991號的1991名同學排成一行，從左向右1 至11報數，報數
為11的同學原地不動，其余同學出列；然后留下的同學再從左向右1 至11報數，
報數為11的留下，其余同學出列；留下的同學第三次從左向右1 至11報數，報到
11的同學留下，其余同學出列，那么最后留下的同學中，從左邊數第一個人的最
初編號是_____ 號。

    二、解答題11. 173 □是個四位數字。數學老師說：" 我在這個□中先后填
入3 個數字，所得到的3 個四位數，依次可被9 、11、6 整除。" 問：數學老師
先后填入的3 個數字的和是多少？

    12. 在1992后面補上三個數字，組成一個七位數，使它們分別能被2 、3 、
5 、11整除，這個七位數最小值是多少？

    13. 在" 改革" 村的黑市上，人們只要有心，總是可以把兩張任意的食品票
換成3 張其他票券，也可以反過來交換。試問，合作社成員瓦夏能否將100 張黃
油票換成100 張香腸票，并且在整個交換過程中剛好出手了1991張票券？

    14. 試找出這樣的最小自然數，它可被11整除，它的各位數字之和等于13.

---------------答 案----------------------

    1. 7已知四位數3AA1正好是9 的倍數，則其各位數字之和3+A+A+1 一定是9
的倍數，可能是9 的1 倍或2 倍，可用試驗法試之。

    設3+A+A+1=9 ，則A=2.5 ，不合題意。再設3+A+A+1=18，則A=7 ，符合題意。

    事實上，3771 9=419. 2. 1這個數奇數位上數字和與偶數位上數字和之差是
0 或是11的倍數，那么這個數能被11整除。偶數位上數字和是5+7=12，因而，奇
數位上數字和2+□+9應等于12，□內應填12-2-9=1. 3. 990要同時能被2 和5 整
除，這個三位數的個位一定是0.要能被3 整除，又要是最大的三位數，這個數是
990. 4. 99960 解法一：能被2 、5 整除，個位數應為0 ，其余數位上盡量取9 ，
用7 去除999 □0 ，可知方框內應填6.所以，能同時被2 、5 、7 整除的最大五
位數是99960.解法二：或者這樣想，2 ，5 ，7 的最小公倍數是70，而能被70整
除的最小六位是100030. 它減去70仍然是70的倍數，所以能被2 ，5 ，7 整除的
最大五位數是100030-70=99960. 5. 3367先求出1~100 這100 個數的和，再求100
以內所有能被3 整除的數的和，以上二和之差就是所有不能被3 整除的數的和。

    （1+2+3+…+100）- （3+6+9+12+ …+99 ）

    = （1+100 ） 2 100- （3+99） 2 33 =5050-1683 =3367 6. 1665能被3 整
除的二位數中最小的是12，最大的是99，所有能被3 整除的二位數如下：12，15，
18，21，…，96，99這一列數共30個數，其和為12+15+18+ …+96+99 =（12+99 ）

    30 2 =1665 7. 96910 或46915 五位數能被55整除，即此五位數既能被5 整
除，又能被11整除。所以B=0 或5.當B=0 時，能被11整除，所以（A+9+0 ）-
（6+1 ）

    =A+2能被11整除，因此A=9 ；當B=5 時，同樣可求出A=4.所以，所求的五位
數是96910 或46915. 8. 90因為105=3 5 7 ，根據數的整除性質，可知這個六位
數能同時被3 、5 和7 整除。

    根據能被5 整除的數的特征，可知這個六位數的個位數只能是0 或5 兩種，
再根據能被3 整除的數的特征，可知這個六位數有如下七個可能：199200，199230，
199260，199290，199215，199245，199275. 最后用7 去試除知，199290能被7
整除。

    所以，199290能被105 整除，它的最后兩位數是90. [ 注] 此題也可以這樣
思考：先把后面兩個方框中填上0 后的199200除以105 ，根據余數的大小來決定
最后兩個方框內應填什么。

    199200 105=1897 …15 105-15=90如果199200再加上90，199290便可被105
整除，故最后兩位數是90. 9. 4316 因為99=9 11 ，所以42□28□既是9 的倍數，
又是11的倍數。根據是9 的倍數的特點，這個數各位上數字的和是9 的倍數。42
□28□這個六位數中已知的四個數的和是4+2+2+8=16，因此空格中兩個數字的和
是2 或11. 我們把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已知兩個數字的和
是2+2=4 ，而偶位上已知兩個數字的和是4+8=12，再根據是11的倍數的特點，奇
位上數字的和與偶位上數的和之差是0 或11的倍數，所以填入空格的兩個數應該
相差3 或相差8.從以上分析可知填入的兩個數字的和不可能是2 ，應該是11. 顯
然它們的差不可能是8 ，應該是3 ，符合這兩個條件的數字只有7 和4.填入空格
時要注意7 填在偶位上，4 填在奇位上，即原六位數是42 7 28 4 ，又427284 99=4316，
所以所得的商是4316. 10. 1331第一次報數后留下的同學最初編號都是11倍數；
第二次報數后留下的同學最初編號都是121 的倍數；第三次報數后留下的同學最
初編號都是1331的倍數。

    所以最后留下的只有一位同學，他的最初編號是1331. 11. ∵能被9 整除的
四位數的各位數字之和能被9 整除，1+7+3+□=11+□∴□內只能填7.∵能被11整
除的四位數的個位與百位的數字和減去十位與千位的數字和所得的差能被11整除。

    ∴（7+□）- （1+3 ）=3+ □能被11整除，∴□內只能填8.∵能被6 整除的
自然數是偶數，并且數字和能被3 整除，而1+7+3+□=11+□，∴□內只能填4.所
以，所填三個數字之和是7+8+4=19. 12. 設補上的三個數字組成三位數，由這個
七位數能被2 ，5 整除，說明c=0 ；由這個七位數能被3 整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c
能被11整除，從而a+b 能被3 整除；由這個七位數又能被11整除，可知（1+9+a+c
）-（9+2+b ）=a-b-1能被11整除；由所組成的七位數應該最小，因而取a+b=3
，a-b=1，從而a=2 ，b=1.所以這個最小七位數是1992210. [注] 小朋友通常的解
法是：根據這個七位數分別能被2 ，3 ，5 ，11整除的條件，這個七位數必定是
2 ，3 ，5 ，11的公倍數，而2 ，3 ，5 ，11的最小公倍數是2 3 5 11=330. 這
樣，1992000 330=6036…120 ，因此符合題意的七位數應是（6036+1）倍的數，
即1992000+（330-120 ）=1992210. 13. 不可能。由于瓦夏原有100 張票，最后
還有100 張票，所以他作了多少次" 兩換三" ，那么也就作了多少次" 三換兩" ，
因此他一共出手了2k+3k=5k張票，而1991不是5 的倍數。

    14. 顯然，這樣的自然數不可能為兩位數，因為如果是兩位數的話，則必然
具有形式，但為偶數，與它的各位數字之和等于13矛盾。現設求之數為三位數 .
于是由題意，且由被11整除的判別法則知是11的倍數。又由于所求之數為最小，
故有 =11. 兩式相減得 .于是 12 ，由于 .當 .所以，所求的最小自然數是319.