一、填空題1.一個六位數23□56□是88的倍數，這個數除以88所得的商是_____
或_____. 2. 123456789 □□，這個十一位數能被36整除，那么這個數的個位上
的數最小是_____. 3. 下面一個1983位數33…3 □44…4 中間漏寫了一個數字
（方框），已知這991 個 991個個多位數被7 整除，那么中間方框內的數字是_____.
4.有三個連續的兩位數，它們的和也是兩位數，并且是11的倍數。這三個數是_____.
5.有這樣的兩位數，它的兩個數字之和能被4 整除，而且比這個兩位數大1 的數，
它的兩個數字之和也能被4 整除。所有這樣的兩位數的和是____. 6.一個小于200
的自然數，它的每位數字都是奇數，并且它是兩個兩位數的乘積，那么這個自然
數是_____. 7. 任取一個四位數乘3456，用A 表示其積的各位數字之和，用B 表
示A 的各位數字之和，C 表示B 的各位數字之和，那么C 是_____. 8. 有0 、1 、
4 、7 、9 五個數字，從中選出四個數字組成不同的四位數，如果把其中能被3
整除的四位數從小到大排列起來，第五個數的末位數字是_____. 9. 從0 、1 、
2 、4 、5 、7 中，選出四個數，排列成能被2 、3 、5 整除的四位數，其中最
大的是_____. 10.所有數字都是2 且能被66……6 整除的最小自然數是_____ 位
數。

    100 個

    二、解答題11. 找出四個互不相同的自然數，使得對于其中任何兩個數，它
們的和總可以被它們的差整除，如果要求這四個數中最大的數與最小的數的和盡
可能的小，那么這四個數里中間兩個數的和是多少？

    12. 只修改21475 的某一位數字，就可知使修改后的數能被225 整除，怎樣
修改？

    13.500名士兵排成一列橫隊。第一次從左到右1 、2 、3 、4 、5 （1 至5 ）
名報數；第二次反過來從右到左1 、2 、3 、4 、5 、6 （1 至6 ）報數，既報
1 又報6 的士兵有多少名？

    14. 試問，能否將由1 至100 這100 個自然數排列在圓周上，使得在任何5
個相連的數中，都至少有兩個數可被3 整除？如果回答：" 可以" ，則只要舉出
一種排法；如果回答：" 不能" ，則需給出說明。

---------------答 案----------------------

    1. 2620 或2711一個數如果是88的倍數，這個數必然既是8 的倍數，又是11
的倍數。根據8 的倍數，它的末三位數肯定也是8 的倍數，從而可知這個六位數
個位上的數是0 或8.而11的倍數奇偶位上數字和的差應是0 或11的倍數，從已知
的四個數看，這個六位數奇偶位上數字的和是相等的，要使奇偶位上數字和差為
0 ，兩個方框內填入的數字是相同的，因此這個六位數有兩種可能23 0 56 0 或
23 8 56 8 又 230560 88=2620 238568 88=2711所以，本題的答案是2620或2711.

    2. 0因為36=9 4，所以這個十一位數既能被9 整除，又能被4 整除。因為1+2+
…+9=45 ，由能被9 整除的數的特征，（可知□+ □之和是0 （0+0 ）、9 （1+8
，8+1，2+7 ，7+2 ，3+6 ，6+3 ，4+5 ，5+4 ）和18（9+9 ）。再由能被4 整除
的數的特征：這個數的末尾兩位數是4 的倍數，可知□□是00，04，…，36，…，
72，…96. 這樣，這個十一位數個位上有0 ，2 ，6 三種可能性。

    所以，這個數的個位上的數最小是0.

    3. 6 33 …3 □44…4 991 個 991個=33 …3 10993+3 □4 10990+44…4 990
個 990個因為111111能被7 整除，所以33…3 和44…4 都能被7 整除，所以只要
990 個 990個3 □4 能被7 整除，原數即可被7 整除。故得中間方框內的數字是
6.

    4. 10 ，11，12或21，22，23或32，33，34. 三個連續的兩位數其和必是3
的倍數，已知其和是11的倍數，而3 與11互質，所以和是33的倍數，能被33整除
的兩位數只有3 個，它們是33、66、99. 所以有當和為33時，三個數是10，11，
12；當和為66時，三個數是21，22，23；當和為99時，三個數是32，33，34. [
注]"三個連續自然數的和必能被3 整除" 可證明如下：設三個連續自然數為n ，
n+1 ，n+2 ，則n+（n+1 ）+ （n+2 ）

    =3n+3 =3（n+1 ）

    所以，能被3 整除。

    5. 118符合條件的兩位數的兩個數字之和能被4 整除，而且比這個兩位數大
1 的數，如果十位數不變，則個位增加1 ，其和便不能整除4 ，因此個位數一定
是9 ，這種兩位數有：39、79. 所以，所求的和是39+79=118.

    6. 195因為這個數可以分解為兩個兩位數的積，而且15 15=225>200 ，所以
其中至少有1 個因數小于15，而且這些因數均需是奇數，但11不可能符合條件，
因為對于小于200 的自然數凡11的倍數，具有隔位數字之和相等的特點，個位百
位若是奇數，十位必是偶數。所以只需檢查13的倍數中小于200 的三位數13 13=169
不合要求，13 15=195 適合要求。所以，答案應是195.

    7. 9根據題意，兩個四位數相乘其積的位數是七位數或八位數兩種可能。

    因為3456=384 9，所以任何一個四位數乘3456，其積一定能被9 整除，根據
能被9 整除的數的特征，可知其積的各位數字之和A 也能被9 整除，所以A 有以
下八種可能取值：9 ，18，27，36，45，54，63，72. 從而A 的各位數字之和B
總是9 ，B 的各位數字之和C 也總是9.

    8. 9∵0+1+4+7+9=21能被3 整除，∴從中去掉0 或9 選出的兩組四個數字組
成的四位數能被3 整除。即有0 ，1 ，4 ，7 或1 ，4 ，7 ，9 兩種選擇組成四
位數，由小到大排列為：1047，1074，1407，1470，1479，1497…。所以第五個
數的末位數字是9.

    9. 7410 根據能被2 、3 、5 、整除的數的特征，這個四位數的個位必須是
0 ，而十位、百位、千位上數字的和是3 的倍數。

    為了使這個四位數盡可能最大，千位上的數字應從所給的6 個數字中挑選最
大的一個。從7 開始試驗，7+4+1=12，其和是3 的倍數，因此其中最大的數是7410.

    10. 300 ∵66…6=2 3 11…1 100 個 100個顯然連續的2 能被2 整除，而要
被3 整除，2 的個數必須是3 的倍數，又要被11…1 整除，2 的個數必須是100
的倍數，所以，最少要有300 個連續的2 方能滿100 個足題中要求。答案應填300.

    11. 如果最小的數是1 ，則和1 一起能符合" 和被差整除" 這一要求的數只
有2 和3 兩數，因此最小的數必須大于或等于2.我們先考察2 、3 、4 、5 這四
個數，仍不符合要求，因為5+2=7 ，不能被5-2=3 整除。再往下就是2 、3 、4 、
6 ，經試算，這四個數符合要求。所以，本題的答案是（3+4 ）=7.

    12. 因為225=25 9，要使修改后的數能被25整除，就要既能被25整除，又能
被9 整除，被25整除不成問題，末兩位數75不必修改，只要看前三個數字即可，
根據某數的各位數字之和是9 的倍數，則這個數能被9 整除的特征，因為2+1+4+7+5=19，
19=18+1 ，19=27-8 ，所以不難排出以下四種改法：把1 改為0 ；把4 改為3 ；
把1 改為9 ；把2 改為1.

    13. 若將這500 名士兵從右到左依次編號，則第一次報數時，編號能被5 整
除的士兵報1 ；第二次報數時，編號能被6 整除的士兵報6 ，所以既報1 又報6
的士兵的編號既能被5 整除又能被6 整除，即能被30整除，在1 至500 這500 個
自然數中能被30整除的數共有16個，所以既報1 又報6 的士兵共有16名。

    14. 不能。

    假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100 個數，我們來按所排列順序
將它們每5 個分為一組，可得20組，其中每兩組都沒有共同的數，于是，在每一
組的5 個數中都至少有兩個數是3 的倍數。從而一共有不少于40個數是3 的倍數。
但事實上，在1 至100 的自然數中有33個數是3 的倍數，導致矛盾。