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五年級奧數題:觀察與歸納(B)

來源:育路教育網發布時間:2011-07-26 09:07:00

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 一、填空題1.先觀察前面三個算式,從中找出規律,并根據找出的規律,直
接在()內填上適當的數。

    (1 )123456789 ×9=1111111101,(2 )123456789 ×18=2222222202 ,
(3 )123456789 ×27=3333333303 ,(4 )123456789 ×72= (),(5 )123456789
×63= (),(6 )6666666606÷54= (),(7 )9999999909÷81= (),
(8 )5555555505÷123456789=()。

    2.將下列分數約成最簡分數:=____________.

    3.在所有的兩位數中,十位數字比個位數字大的兩位數有____個。

    4.大于1 的整數加下圖所示,排成8 列,數1000將在第____列。

    2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14

    5.將所有自然數如下圖排列。15120 這個數應在第____行第____個位置上。

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

    6. 11 個數排成一列,相鄰三個數之和等于20. 已知第2 個數是1 ,第13個
數是9 ,第9 個數是____.

    7.一數列相鄰四個數的和都是45,已知第6 個數是11,第19個數是5 ,第44
個數是24,那么第一個數是____.

    8.數列1 ,1991,1990,1 ,1989,1988,1 ,…從第三個數起,每個數是
前兩個數的差,這個數列中第一個零出現在第____項。

    9.例6 中第70個數被5 除余____.

    10. 如下圖,有一個六邊形點陣,它的中心是個點,算作第一層;第二層每
邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點);第三層每邊有三個點,……這個六邊形點
陣共有層,第層有____個點,這個點陣共有____個點。

    二、解答題11. 現有如下一系列圖形:

    當 =1 時,長方形分為2 個直角三角形,總計數出5 條邊。

    當 =2 時,長方形分為8 個直角三角形,總計數出16條邊。

    當 =3 時,長方形分為18個直角三角形,總計數出33條邊。

    ……

    按如上規律請你回答:當 =100 時,長方形應分為多少個直角三角形?總計
數出多少條邊?

    12. 下面的()、()、()、()為四個平面圖。數一數,每個平面圖各
有多少個頂點?多少條邊?它們分別圍成了多少個區域?請將結果填入下表(按
填好的樣子做)。

    頂點數  邊數  區域數()

    4 6  3()

    ()

    ()

    ?觀察上表,推斷一個平面圖的頂點數、邊數、區域數之間有什么關系??
現已知某個平面圖有999 個頂點,且圍成了999 個區域,試根據以上關系確定這
個圖有多少條邊。

    13. 全體奇數排成下圖形式,十字框子框出5 個數,要使這五個數之和等于,
(1 ) 1989 ;(2 ) 1990 ;(3 ) 2005 ;(4 ) 2035 ,能否辦到?若能
辦到,請你寫出十字框中的五個數。

    1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47

    14. 有一列數1 ,3 ,4 ,7 ,11,18…(從第三個數開始,每個數恰好是
它前面相鄰兩個數的和)。

    (1 )第1991個數被6 除余幾?

    (2 )把以上數列按下述方法分組(1 ),(3 ,4 ),(7 ,11,18)…
(第組含有個數),問第1991組的各數之和被6 除余數是幾?

---------------答 案----------------------

    答案:1. 8888888808 , 7777777707 , 123456789, 123456789, 45.

    2.因為,,,……,即分子分母添上相同個數的6 ,分數值不變,所以 .

    3.十位數字是1 時,這樣的兩位數只有10這1 個;十位數字是2 時,這樣的
兩位數有20,21這2 個;十位數字是3 時,這樣的兩位數有30,31,32這3 個;
……

    由此可以推知:" 十位上的數字是幾,符合條件的兩位數就有幾個。" 所以,
符合題目條件要求的兩位數,共計有:1+2+3 …+8+9=45.

    4.所有8 的倍數均在第三列中,數1000是8 的倍數,所以它在第三列中。

    5.每一行的最末一個數正好為該行行數的平方,該行開頭的數是前一行最末
一個數加1.由于1222<15120<1232 ,15120-1222=236,故15120 在第123 行的236
號上。

    6. 14 個數是每三個數的循環排列,第二個數是1 ,那么第8 個數也是1.第
13個數是9 ,那么第10個數也是9 ,所以第9 個數是20-1-9=10.

    7.數列每隔4 項重復出現。第2 個數是11,第3 個數是5 ,第4 個數是24,
那么第一個數是45- (11+5+24 )=5.

    8.除開1 不看,數列是1991,1990,1989,1988,…,第1992個是0 ,再加
上前面的996 個1 ,第一個0 出現在第1992+996=2988 項上。

    9.寫出每個數被5 除的余數:0 ,1 ,3 ,3 ,1 ,0 ,4 ,2 ,2 ,4 ,
0 ,1 ,3 ,…

    可見每10個余數循環一次,70÷10=7,第70個數被5 除余為0.

    10. 觀察點陣中各層點數的規律,然后歸納出點陣共有的點數。

    第一層有點數:1 ;第二層有點數:1 ×6 ;第三層有點數:2 ×6 ;第四
層有點數:3 ×6 ;……;第層有點數:( -1 )×6.因此,這個點陣的第層有
點( -1 )×6 個,層共有點數為1+1 ×6+2 ×6+3 ×6+…+ ( -1 )×6 =1+6
×[1+2+3+ …+ ( -1 )] =1+6×=1+3( -1 ) .

    11. =1時,直角三角形2.12個,邊數=2.1(1+1 )+12=5 ;=2時,直角三角
形2.22個,邊數=2.2(2+1 )+22=16;=3時,直角三角形2.32個,邊數=2.3(3+1
)+32=33 ;對一般的,共分為2. 2個直角三角形,總計數出2 ( +1 )+ 2 條邊。

    所以 =100 時,共分為2.1002=20000個直角三角形,總計數出2 ×100 ×
(100+1 )+1002=30200 條邊。

    12. (1 )填表如下:頂點數  邊數  區域數()

    4 6 3 ()

    8 12 5()

    6 9 4 ()

    10 15 6 (2 )由該表可以看出,所給四個平面圖的頂點數、邊數及區域數
之間有下述關系:4+3-6=1 8+5-12=1 6+4-9=1 10+6-15=1所以,我們可以推斷:
任何平面圖的頂點數、邊數及區域數之間,都有下述關系:頂點數+ 區域數- 邊
數=1. (3 )由上面所給的關系,可知所求平面圖的邊數。

    邊數= 頂點數+ 區域數-1 =999+999-1 =1997 注:本題第二問中的推斷是正
確的,也就是說任何平面圖的頂點數、區域數及邊數都能滿足我們所推斷的關系。
當然,平面圖有許許多多,且千變萬化,然而不管怎么變化,頂點數加區域數再
減邊數,最后的結果永遠等于1 ,這是不變的。因此,頂點數+ 區域數- 邊數就
稱為平面圖的不變量(有時也稱為平面圖的歐拉數——以數學家歐拉的名字命名)。

    13. 十字框中5 個數的和等于中間那個數的5 倍,1989不是5 的倍數,1990=5
×398 是5 的偶數倍,均不可能。2005÷5=401 ,能辦到的五個數是399 ,401 ,
403 ,389 ,413. 2005 ÷5=407 ,407 ÷12=33 …11,407 在最右邊一列上,
故不可能。

    14. 設表示數列中的等個數,= + (), = +( 6)()。

    容易列出下表:

    被6 除的余數  1 3 4 1 5 0 5 5 4 3 1 4 5

    被6 除的余數  3 2 5 1 0 1 1 2 3 5 2 1 3 觀察上表可知 =( 6), =(
6 ),則 =( 6)。就是說,數列中的數被6 除所得的余數,每隔24個數重復出
現。

    由于1991=24 ×82+23 ,因此 = =5 ( 6),即數列中等1991個數被6 除余
數是5.按規定分組后,前1990組共有:1+2+3+…+1990=1981045 (個)數,第1991
組的各數之和為 = + +…+ . 據上表可知,數列中任意相鄰的24個數之和被6 除
的余數就等于24個數分別被6 除所得余數之和被6 除所得的余數,即:+ + …+
= (1+3+4+1+5+0+5+5+4+5+3+1+4+5+3+2+5+1+0+1+1+1+2+ 3+5+2)=66=0 ( 6)。

    由1991=24 ×82+23 得= + + …+ +0×82( 6)。

    有 + = + +…+ =0( 6),1981045=24×82543+13,= =5( 6),即被6 除
余數是5 ,故被6 除所得的余數應是1.

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