一、填空題1. 1992 年1 月18日是星期六，再過十年的1 月18日是星期_____.
2.黑珠、白珠共102 顆，穿成一串，排列如下圖：……

    這串珠子中，最后一顆珠子應該是_____ 色的，這種顏色的珠子在這串中共
有_____ 顆。

    3.流水線上生產小木珠涂色的次序是：先5 個紅，再4 個黃，再3 個綠，再
2 個黑，再1 個白，然后再依次是5 紅，4 黃，3 綠，2 黑，1 白，……繼續下
去第1993個小珠的顏色是_____ 色。

    4.把珠子一個一個地如下圖按順序往返不斷投入A 、B 、C 、D 、E 、F 袋
中。第1992粒珠子投在_____ 袋中。

    5.將數列1 ，4 ，7 ，10，13…依次如圖排列成6 行，如果把最左邊的一列
叫做第一列，從左到右依次編號，那么數列中的數349 應排在第_____ 行第_____
列。

    1 4 7 10 13 28 25 22 19 16 31 34 37 40 43 58 55 52 49 46……………

    …………………

    6.分數化成小數后，小數點后面第1993位上的數字是_____. 7. 化成小數后，
小數點后面1993位上的數字是_____. 8. 在一個循環小數0.1234567 中，如果要
使這個循環小數第100 位的數字是5 ，那么表示循環節的兩個小圓點，應分別在
_____ 和_____ 這兩個數字上。

    9. 1991 個9 與1990個8 與1989個7 的連乘積的個位數是_____. 10.算式
（367367+762762 ） 123123 的得數的尾數是_____.

    二、解答題11. 乘積1 2 3 4 …… 1990 1991是一個多位數，而且末尾有許
多零，從右到左第一個不等于零的數是多少？

    12. 有串自然數，已知第一個數與第二個數互質，而且第一個數的恰好是第
二個數的，從第三個數開始，每個數字正好是前兩個數的和，問這串數的第1991
個數被3 除所得的余數是幾？

    共產黨好共產黨好共產黨好……

    社會主義好社會主義好社會主義好……

    上表中，將每列上下兩個字組成一組，例如第一組為（共社），第二組為
（產會），那么第340 組是_____. 14.甲、乙二人對一根3 米長的木棍涂色。首
先，甲從木棍端點開始涂黑5 厘米，間隔5 厘米不涂色，接著再涂黑5 厘米，這
樣交替做到底。然后，乙從木棍同一端點開始留出6 厘米不涂色，接著涂黑6 厘
米，再間隔6 厘米不涂色，交替做到底。最后，木棍上沒有被涂黑部分的長度總
和為_____ 厘米。

---------------答 案----------------------

    1.五在這十年中有3 個閏年，所以這10年的總天數是365 10+3，365 被7 除
余1 ，所以總天數被7 除的余數是（13-7= ）6 ，因此10年后的1 月18日是星期
五。

    2.黑，26根據圖示可知，若去掉第一顆白珠后它們的排列是按" 一黑三色"
交替循環出現的，也就是這一排列的周期為4.由（102-1 ） 4=25 …1 ，可知循
環25個周期，最后一顆珠子是黑色的。黑色珠子共有1 25+1=26 （顆）。

    3.黑小木球是依次按5 紅，4 黃，3 綠，2 黑和1 白的規律涂色的，把它看
成周期性問題，每個周期為15. 由1993 15=132 …13知，第1993個小球是第133
周期中的第13個，按規律涂色應該是黑色，所以第1993個小球的顏色是黑色。

    4. B通過觀察可以發現，第11次到第20次投進的袋子依次與第1 次到第10次
投進的袋子相同，即當投的次數被10除余1 ，2 ，3 ，…，8 ，9 ，0 ，分別投
進A ，B ，C ，……D ，C ，B 袋中，1992被10除余2 ，所以第1992粒珠子投在
B 袋中。

    5. 24 ，2 這個數列從第2 項起，每一項都比前一項多3 ，（349-1 ） 3+1=117，
所以349 是這列數中的第117 個數。

    從排列可以看出，每兩排為一個周期，每一周期有10個數。

    因為117 10=11 …7 ，所以數"349" 是第11個周期的第7 個數，也就是在第
24行第2 列。

    6. 6 =它的循環周期是6 ，因為1993=6 332+1，所以化成小數后，其小數點
后面第1993位上的數字是6. 7. 7 = 它的循環周期是6 ，因為（1993-1） 6=332，
則循環節"142857"恰好重復出現332 次。所以小數點后面第1993位上的數字是7.
8. 3，7 表示循環小數的兩個小圓點中，后一個小圓點顯然應加在7 的上面，且
數字"5" 肯定包含在循環節中，設前一個小圓點加在"5" 的上面，這時循環周期
是3 ，（100-4 ） 3=32 ，第100 位數字是7.設前一個小圓點加在"4" 的上面，
這時循環周期是4 ，（100-3 ） 4=24 …1 ，第100 位數字是4.設前一個小圓點
加在"3" 的上面，這時的循環周期是5 ，（100-2 ） 5=19 …3 ，第100 位數字
正好是5. [注] 拿到此題后容易看出后一個小圓點應加在7 的上面，但前一個圓
點應加在哪個數字上，一下子難以確定，怎么辦？唯一的辦法就是" 試".因為循
環節肯定要包含5 ，就從數字5 開始試。逐步向前移動，直到成功為止。這就像
我們在迷宮中行走，不知道該走哪條道才能走出迷宮，唯一的辦法就是探索：先
試一試這條，再試一試那條。

    9. 2由特例不難歸納出：（1 ）9 的連乘積的個位數字按9 ，1 循環出現，
周期為2 ；（2 ）8 的連乘積的個位數字按8 ，4 ，2 ，6 循環出現，周期為4
；（3 ）7 的連乘積的個位數字按7 ，9 ，3 ，1 循環出現，周期為4.因為1991=995
2+1 ，所以1991個9 的連乘積的個位數字是9 ；因為1990=497 4+2，所以1990個
8 的連乘積的個位數字是4 ；因為1989=497 4+1，所以1989個7 的連乘積的個位
數字是7.9 4 7 的個位數字是2 ，即1991個9 與1990個8 與1989年7 的連乘積的
個位數字是2. 10. 9 7的連乘積，尾數（個位數字）以7 ，9 ，3 ，1 循環出現，
周期為4.因為367 4=91…3 ，所以，367367的尾數為3. 2的連乘積，尾數以2 ，
4 ，8 ，6 循環出現，周期為4.因為762 4=190 …2 ，所以，762762的尾數為4.
3 的連乘積，尾數以3 ，9 ，7 ，1 循環出現，周期為4.123 4 =30 …3 ，所以，
123123的尾數為7.所以，（367367+762762 ） 123123 的尾數為（3+4 ） 7=49
的尾數，所求答案為9. 11.從1 開始，將每10個數分為一組，每一組10個數從右
到左第一個不等于零的數字是乘積1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=3628800從右到左第一
個不等于零的數字是8 ，1~1991可分為1~10，11~20 ，21~30 ，…，1981~1990 ，
1991；8 的連乘積末位數字8 、4 ，2 ，6 重復出現，199 4=49…3 ，所以199
個8 相乘的末位數字是2 ，1991個位數字是1 ，所以，乘積1 2 3 … 1990 1991
從右到左第一個不等于零的數字是2. 12.因為第一個數 =第二個數，所以第一個
數：第二個數= ： =3 ：10. 又兩數互質，所以第一個數為3 ，第二個數為10，
從而這串數為：3 ，10，13，23，36，59，95，154 ，249 ，403 ，652 ，1055
……

    被3 除所得的余數為：0 ，1 ，1 ，2 ，0 ，2 ，2 ，1 ，0 ，1 ，1 ，2 ，
……按"0，1 ，1 ，2 ，0 ，2 ，2 ，1"循環，周期為8.因為1991 8=248…7 ，
所以第1991個數被3 除所得余數應是第249 周期中的第7 個數，即2. [注] 解答
此題應注意以下兩個問題：（1 ）由于兩個數互質，所以這兩個數只能是最簡整
數比的兩個數；（2 ）求出這串數被3 除所得的余數后，找出余數變化的周期，
但這并不是這串數的周期。一般來說，一些有規律的數串，被某一個整數逐個去
除，所得的余數也具有周期性。

    13. 因為" 共產黨好" 四個字，" 社會主義好" 五個字，4 與5 的最小公倍
數是20，所以在連續寫完5 個" 共產黨好" 與4 個" 社會主義好" 之后，將重復
從頭寫起，出現周期現象，而且每個周期是20組數。

    因為340 20=17 ，所以第340 組正好寫完第17個周期，第340 組是（好，好）。

    [ 注] 此題從題面上看是一個文字游戲，其實質是一個周期的問題：

    四個四個地數

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    五個五個地數

    14. 根據題意甲、乙從同一端點開始涂色，甲按黑、白，黑、白……交替進
行；乙按白、黑，白、黑……交替進行，如下圖所示。

    由上圖可知，甲黑、乙白從同一端點起，到再一次甲黑、乙白同時出現，應
是5 與6 的最小公倍數的2 倍，即5 6 2=60厘米，也就是它們按60厘米為周期循
環出現。并且在每一個周期中沒有涂色的部分是1+3+5+4+2=15（厘米）

    所以，在3 米的木棍上沒有涂黑色的部分長度總和是15（300 60）=75 （厘
米）

    [ 注] 請注意這里的周期是5 與6 最小公倍數的2 倍，而不是5 與6 的最小
公倍數。這是同學們容易犯的錯誤。