一、填空題1.在下面的一列數中，只有一個九位數，它是______. 1234，5678，
9101112 ，13141516，……

    2.把自然數按下表的規律排列，其中12在8 的正下方，在88正下方的數是______.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16××××××××××××

    3.計算：1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+…+4+3-2-1，結果是
____.

    4.下面是一列有規律排列的數組：（1 ，，）；（，，），（，，）；……
；第100 個數組內三個分數分母的和是______.

    5.把所有的奇數依次一項，二項，三項，四項循環分為：（3 ），（5 ，7 ），
（9 ，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），
（35，37，39，41），（43），…，則第100 個括號內的各數之和為______.

    6.一列數：1 ，2 ，2 ，3 ，3 ，3 ，4 ，4 ，4 ，4 ，5 ，5 ，5 ，5 ，
5 ，…，其中自然數出現次。那么，這列數中的第1999個數除以5 的余數是______.

    7.如數表：第1 行 1 2 3 4 5…… 14 15第2 行 30 29 28 27 26 …… 17
16第3 行 31 32 33 34 35 …… 44 45………………………

    第行……………………

    第 +1 行……………………

    第行有一個數，它的下一行（第 +1 行）有一個數，且和在同一豎列。如果
+ =391，那么 =______.

    8.有一串數，第100 行的第四個數是______. 1 ， 2 3， 4， 5， 6 7， 8，
9 ，10，11，12 13 ，14，15，16，17，18，19，20

    9.觀察下列" 數陣" 的規律，判斷：9 出現在第______行，第______列。數
陣中有______個數分母和整數部分均不超過它（即整數部分不超過9 ，分母部分
不超過92）。

    1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，…

    3 ，3 ，3 ，3 ，3 ，3 ，3 ，…

    5 ，5 ，5 ，5 ，5 ，5 ，5 ，…

    …………

    10. 有這樣一列數：123 ，654 ，789 ，121110，131415，181716，192021，
……。還有另一列數：1 ，2 ，3 ，6 ，5 ，4 ，7 ，8 ，9 ，1 ，2 ，1 ，1 ，
1 ，0 ，1 ，3 ，1 ，4 ，1 ，5 ，1 ，8 ，1 ，7 ，1 ，6 ，1 ，9 ，2 ，0 ，
2 ，1 ，……，第一列數中出現的第一個九位數是______，第二列數的第1994個
數在一列數中的第______個數的______位上。

    11. 假設將自然數如下分組：（1 ），（2 ，3 ），（4 ，5 ，6 ），（7 ，
8 ，9 ，10），（11，12，13， 14 ，15），（16，17，18，19，20，21），…
…再將順序數為偶數的數組去掉，則剩下的前個數組之和恒為 4，如：（1 ）+
（4+5+6 ）+ （11+12+13+14+15）=34.今有從第一組開始的前19個數組，求其中
順序數為偶數的數組中所有數的和。

    12. 1 ，1 ，2 ，2 ，3 ，3 ，1 ，1 ，2 ，2 ，3 ，3 ，1 ，1 ，…其中
1 ，1 ，2 ，2 ，3 ，3 這六個數字按此規律重復出現，問：（1 ）  第100 個
數是什么數？

    （2 ）  把第一個數至第52個數全部加起來，和是多少？

    （3 ）  從第一個數起，順次加起來，如果和為304 ，那么共有多少個數字
相加？

    13. 右圖是一個向右和向下方可以無限延伸的棋盤，橫排為行，豎排為列，
將自然數按已填好的4 ×4 個方格中的數字顯現的規律填入方格中。

    1 2 4 7 3 5 8 12 6 9 13 18 10 14 19 25

    （1 ）求位于第3 行、第8 列的方格內的數；（2 ）寫出位于從左上角向右
下角的對角線上的方格內的數組成的數列的第10個數；（3 ）數321 在哪一個方
格內？

    14. 數1 ，2 ，3 ，4 ，…，10000 按下列方式排列：1 2 3 … 100 101 102
103 … 200……………

    9901 9902 9903… 10000任取其中一數，并劃去該數所在的行與列。這樣做
了100 次以后，求所取出的100 個數的和。

---------------答 案----------------------

    答案：1. 979899100按照自然數從小到大的順序，每四個數構成一數。九位
數只能由三個兩位數和一個三位數構成，所以這個九位數是979899100.

    2. 101由12=8+4，4 正好是8 所在的行數值，則必須求出88所在行數值。

    根據每行尾數的排列規律1 ，3 ，6 ，10，15，21，28，36，45，55，66，
78，91，…，可知88所在行數應是第13行。

    因此，在88的正下方的數是88+13=101.

    3. 1996 提示：從左至右每四個數運算的結果都是4.

    4. 600提示：第組中間的分數的分母是2 ，則第組內三個分數分母之和是
（2 -1）+2 +（2 +1）=6 .

    5. 1992 每4 個括號為一個大組，前100 個括號共25個大組，包含25×（1+2+3+4）
=250個數，正好是從3 開始的250 個連續奇數。因此第100 個括號內的最后一個
數是2 ×250+1=501 ，故第100 個括號內的各數之和為501+499+497+495=1992.

    6. 3自然數出現了次，這個中的最后一個數位于這列數中的第（1+2+…+ =
（ +1 ）個數。

    又 .因此，這列數中的第1999個數是63，它除以5 的余數是3.

    7. 13 觀察數表排列規律知，相鄰兩行（第行與第 +1 行）十五組相應兩數
的和值均相等，其和為30 +1.由30 +1=391 得 =13.

    8. 9904 第99行的最后一個數是2+4+6+…+198=9900 ，所以第100 行的第4
個數是9904.

    9. 5，165 ，869.觀察" 數陣" 的規律，每行分數的整數部分均相同為連續
的奇數，所以9 位于第5 行。觀察第5 行各數規律知9 位于第（92-9）×2-1=165
列。

    整數部分不超過9 的分數只能位于前5 行，第一行分母不超過92的分數有
（92-1）×2-1=181 個，第二、三、四、五行分母不超過92的分數分別有（92-3）
×2=178 個，（92-5）×2=174 個，（92-7）×2=170 個，（92-9）×2=166 個，
故數陣中分母和整數部分均不超過9 的分數共有181+178+174+170+166=869 個。

    10. 102101100 ；234 ，萬。

    第一列數中每個數都是由連續的三個自然數構成。自然數中一位數和兩位數
共有99個，構成第一列數的前33個，第34個就是第一個九位數，由100 ，101 和
102 構成。又因為34是偶數，所以第34個數按從大到小排列是102101100.第一列
數的前33個數構成第二列數的前189 個數，從第一列的第34個數開始，每個數構
成第二列的9 個數。因為（1994-189）÷9=200 ……5 ，33+200+1=234. 所以第
二列數的第1994個數在第一列中的第234 個數的萬位上。

    11. 從第一組開始的前19個數組，共包含1+2+3+…+19= =190 個數，這些數
的和為1+2+3+…+190= =18145. 其中順序數為奇數的數組有[ ]+1=10組，這10個
數組所有數的和為104=10000 ，因此其中順序數為偶數的數組中所有數的和為18145-10000=8145.

    12. （1 ）因為100 ÷6=16……4 ，所以第100 個數與第4 個數相同，為2.
（2 ）因為52÷6=8 ……4 ，所以第1 個數至第52個數的和為（1+1+2+2+3+3 ）
×8+（1+1+2+2 ）=102. （3 ）因為1+1+2+2+3+3=12，304 ÷12=25 ……4 ，又
1+1+2=4 ，所以從第一個數起，順次相切，共加到第25×6+3=153 個數，其總和
才恰為304.

    13. （1 ）在第3 行中，由左向右的數字依次是：=6， =9= +3 ， =13= +4，
=18= +5 ，……。

    即位于第3 行、第8 列的方格內的數是48. （2 ）位于從左上角到或下角的
對角線上的方格內的數字依次是：，，，，…。

    = =25+4 =181. 即第10個數為181.（3 ）為求數321 在哪個方格內，可將棋
盤上的數按從右上到左下的對角線方向排列如下：第1 組 1第2 組 2，3 第3 組
4 ，5 ，6 第4 組 7，8 ，9 ，10…………

    顯然，從第1 組到第組共包含1+2+3+…+ = 個數，故第組中最大數是 . 321
是第321 個數，321 所在" 組" 的行號是滿足 321的最小自然數，試算從 =300
和 =325 ，可得 =25. 前24組共有1+2+3+…+24=300 個數，因而321 是第25組中
第321-300=21個數。

    321 位于第21行，第5 列的方格內。

    14. 將第2 行的每個數減去100 ，第3 行每個數減去200 ，…，第100 行每
個數減去9900，我們就得到一個各行都是1 ，2 ，…，100 的數表。

    在后一個數表按規定方法取出的各數之和是1+2+…+100=5050.于是在原表中
所求各數之和為：5050+ （100+200+…+9900 ）=5050+495000=500050.