22. 小猴子數桃子

    猴子媽媽采來了一籃桃子，她讓小猴子數一數共采了多少桃子。小猴子3 個
3 個地數，最后多出1 個，它就把多出的一個扔在一邊；它又5 個5 個地數，到
最后還是多出一個，它又把多出的1 個扔在一邊；最后它7 個7 個地數，還是多
出1 個。它數了三次，到底有多少桃子，還是不清楚。小朋友，你知道這籃子里
至少有多少個桃子嗎？

    分析與解

    本題可概括為“一個數用3 除余1 ，用5 除余2 ，用7 除余3 ，這個數最小
是多少？”

    我們從余數開始逆推：由于用3 除余1 ，所以這個數為3n+1（n 為正整數）。

    要使3n+1這個數繼而滿足用5 除余2 的條件，可用n=1 ，2 ，3 ……來試代，
發現當n=2 時，3 ×2+1=7 滿足條件。

    由于15能被3 和5 整除，所以15m+7 這些數（m 為正整數），也能滿足用3
除余1 ，用5 除余2 這兩個條件。

    在15m+7 中選擇適當的m ，使之用7 除得到的余數為3.也是采取試代的方法，
試代的結果得出：當m=3 時滿足條件。

    這樣15×3+7= 52 為所求的答案，也就是說這籃桃子至少有52個。

    對于這類用3 、5 、7 三個數來除分別得到不同余數的題目，有沒有一個解
答的規律呢？有。我國有個著名的余數定理，它可以用四句詩來形象地記憶。

    三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，拋五去百便得知。

    這四句詩叫“孫子點兵”歌，外國稱它為“中國剩余定理”。這首詩的意思
是：70乘上用3 除所得的余數，21乘上用5 除所得的余數，15乘上用7 除所得的
余數，然后把這三個乘積加起來，其和加或減105 的整數倍，就可以得到所需要
的數了。

    現在我們回到本題，并運用上述辦法求解。由于用3 除余1 ，用5 除余2 ，
用7 除余3 ，所以，70×1+21×2+15×3 =70+42+45 =157因為要求的是最小值，
所以157-105 =52