51. 造出6 個質(zhì)數(shù)

    此題的解雖然并不具重要性，但此題卻引導我們進行一些有益的思考。以下
4 組解是不包含運算的情形：

    2 3 5 47 61 89

    2 3 5 41 67 89

    2 3 5 7 89 461

    2 3 5 7 89 641

    若運用下列的計算去組合，則可找到更多的解：

    3 ＋4 ＝7 ，1 ＋6 ＝7 ，1 ＋4 ＝5 ，4 ＋7 ＝11，6 ＋7 ＝13，

    52. 交通工程

    最大的車流量為每小時2000輛。

    可以沿著網(wǎng)絡“追蹤”汽車，直到超過了路段的容量為止。如果運用切割的
觀念，可輕易地完成各步驟。

    先看一下城鎮(zhèn)道路地圖上所畫的虛線，任一條虛線都把城鎮(zhèn)切割成兩個部分。
考慮截線q ，它通過4 條道路，而其總交通容量為每小時2100輛（21＝4 ＋3 ＋
8 ＋6 ）。這意味著在q 的兩側(cè)可容納的最大交通流量。同理，s 將城鎮(zhèn)切割成
兩部分，而其所經(jīng)過的道路的最大容量為每小時2700輛。我們檢視一下網(wǎng)絡，并
且將切割后的車容量標示出來，如圖1 所示的p 、q 、r 、s 與t ，如此可以迅
速地看出道路的瓶頸所在以及多余的容量。此道路網(wǎng)絡的最小切割為r ，其容量
為每小時2000輛，這也同時指出了由A 至B 最大車流量為每小時2000輛。

    至此只回答了最大流量的問題，還未解決交通路線分配的問題。圖2 所示的
并非唯一解，你可以把一些箭頭和數(shù)字標在網(wǎng)絡上代表車流方向和車流量來構(gòu)造
出一個解。要注意，通過最小切割的道路必須為全滿的容量。

    在此所示的解是經(jīng)過謹慎選擇后得到的，使得沒有車輛通過的道路數(shù)目為最
多，即圖中4 條標為0 的虛線。

    在理論上4 條道路可以徒步經(jīng)過，或至少可避免交通問題。

    要增加通過城鎮(zhèn)的交通流量，就必須增加最短切割所通過的道路中某一段的
容量。其最佳解可能為增加XY（如上圖所示）的容量，由每小時400 輛增加至600
輛，這會使q 與r 切割分別改變?yōu)?3與22，且正好等于p 、t 切割之值。這時的
最大流量將增為每小時2200輛，但代價是ZT與TB將會有車輛通行，這就會限制徒
步路段的數(shù)目。

    53. 船桅的距離

    要找到兩船桅的距離是不可能的，不論船桅之間的距離是多少，兩船桅的交
點到船體的高度恒為2.4m.

    由圖所示，可利用相似三角形得出：

    將（1 ）式除以（2 ）式得出：

    現(xiàn)在由（1 ）式得：

    另一種可顯示船桅間的距離與h 高度無關(guān)的方法是移動圖中6m高的船桅，觀
察一下是否會影響h 的值。

    54.9個棋子的舞蹈

    這個游戲有時就直接稱為“The Mill”。

    現(xiàn)在有一個類似的游戲名為肯辛頓（Kensington），它是由泰勒（Brian Taylor）
與福布斯（Peter Forbes）在1979年所發(fā)明的。這個游戲的棋盤由一些相連的六
邊形、正方形與三角形所構(gòu)成。在此游戲中，當3 個棋子形成一個三角形時就形
成一個mill，這時便可將對手的棋子移至棋盤中任意的空位上。此游戲非常吸引
人，值得一玩。

    55. 矩陣演習

    此題融合了矩陣代數(shù)、幾何變換與群論的概念。在某種程度上，它是相當復
雜的，但將之視為24階，取算術(shù)模5 的矩陣來研究，則非常有趣且富于啟發(fā)性。