36. 自行車的齒輪

    研究顯示，齒輪比與比例因子對兒童而言算是相當難理解的概念，可以從實
用的角度來著手，盡量激發兒童應用數學的興趣。

    巴特勒自行車的齒輪比如下表所示：

    女式自行車的齒輪比依序為：

    鏈條在大齒盤間做過5 次轉換（如箭頭處所示）。男式自行車則需要做7 次
轉換：

    加裝了后軸變速系統的自行車，其齒輪比如下表所示：

    擁有4 個鏈輪的飛輪之軸齒輪比逼近于有27、23、18與14齒的FW輪軸的后軸
變速系統。

    同時具有兩種變速系統的自行車，理論上會有50種可能的齒輪比，調速范圍
更大。

    你可以自己走一趟自行車商店，試著去收集各種不同自行車的資料。

    37. 透視立體圖形

    作者于多年前在一堂藝術課中發掘出此類問題，并認為其結構、概念也適用
于數學課程，它可以刺激對三維空間（立體）的想象力，且協助孩子將三維空間
的物體以二維空間（平面）的圖形呈現出來。

    最初可從鐵絲衣架等具體的實物著手，而聰明一點的孩子則可運用想象力構
筑出不同的結構。

    38. 回文數的終點

    有許多二位數具有此性質。設十位數字為a ，個位數字為b ，將二位數記為
ab. 只要a ＋b ≤9 ，就可得到回文數。例如：

    25+52 ＝77，32+23 ＝55，18+81 ＝99

    任何二位數cd，只要c ＋d ＝11，均可推得121.例如：

    29+92 ＝121 ，47+74 ＝121 ，56+65 ＝121

    39. 反轉

    利用試誤法可找到許多解答，但要徹底了解此問題，則需要分析一下。

    我們先考慮下列的乘法：

    因為乘積是五位數，g ≤9 、k ≤9 ，而且在每一位數并不牽涉到進位的問
題，所以對每一位數字（g 、h 、i 、j 、k ）而言，下列式子為必要條件：

    ad≤9

    ae+bd ≤9

    af＋be＋cd≤9

    bf＋ce≤9

    cf≤9

    這意味著如果a ＝2 ，則d 、e 、f ≤4 ，所以滿足條件的大部分解，其每
一位數的數字將很小。但是大數字的解也可能存在，例如：

    891 ×101 ＝89991

    198 ×101 ＝19998

    另外還有一些解答為：

    123 ×101 ＝12423 123 ×102 ＝12546 100 ×900 ＝90000

    321 ×101 ＝32421 321 ×201 ＝64521 001 ×009 ＝00009

    40. 循環

    這是一個相當有趣的題目，而且對各種程度的人都適用。對基礎程度者而言，
只要會做除法的計算即可。但要找出本題要求的形式，卻需要做許多的假設和試
驗。

    當除以2 時，不論起始數字是多少，都會出現相同順序（從環狀來看）的18
個數字。

    當除以3 時，要得出類似的形式，則必須是一個28位數字的循環序列，如下
所示：

    上述這些環狀的長度與數字序列使人聯想到循環小數（參見《數學樂園。茅
塞頓開》第126 題）。用計算器做一連串的試驗之后，你將發現，除以2 、3 和
4 得到的循環序列，會分別與除以19、29與39所得到的循環序列相同。但我們如
何找出其間的關系呢？

    可考慮

    如果在一個循環之后接著重復寫上幾個循環，并在1 的后面加上一個小數點，
則除式變成：

    設

    x ＝0.025641025641…

    則除式可寫為下列形式：

    故

    40x ＝1+x

    顯然地，類似的論證可應用至所有的除法中，并可表示出其與循環小數的關
系。